8.4. Спектральный метод

Говоря о спектральном методе анализа прохождения радиотехнических сигналов через линейные стационарные системы, обычцо имеют в виду целый комплекс математических приемов, в основе которых лежит использование свойств частотного коэффициента передачи системы. Ниже на конкретных примерах показано применение спектрального подхода как к задаче нахождения реакции системы, так и к проблеме числовой оценки выходного сигнала.

Основная формула.

Пусть на входе некоторой линейной стационарной системы действует детерминированный сигнал заданный обратным преобразованием Фурье:

Будем полагать, что известен частотный коэффициент передачи системы. Как было доказано, комплексный сигнал вида являясь собственной функцией системного оператора, создает на выходе элементарную реакцию Суммируя эти реакции, находим представление выходного сигнала:

Получена основная формула спектрального метода, свидетельствующая о том, что частотный коэффициент передачи системы служит множителем пропорциональности между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:

Итак, анализ систем в частотной области отличается замечательной чертой — эффект преобразования сигнала в системе отображается просто алгебраической операцией умножения.

Следует иметь в виду, что спектральный и временной подходы полностью эквивалентны друг другу. Действительно, интеграл Дюамеля (8.8) есть свертка функции и импульсной характеристики h(t) во временной области: . Значит, спектральная плотность выходного сигнала есть произведение спектральных плотностей функций Отсюда непосредственно следует формула (8.49).

Практическая ценность спектрального метода нахождения выходной реакции в каждом конкретном случае зависит от того, удается ли провести интегрирование в формуле (8.48).

Вычисление импульсных характеристик.

Как правило, нахождение частотных коэффициентов передачи линейных систем не вызывает принципиальных затруднении.

Поэтому если требуется вычислить импульсную характеристику системы, то целесообразно воспользоваться спектральным методом, согласно которому

В качестве примера найдем импульсную характеристику К С-цепи, для которой выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе. Здесь

поэтому импульсная характеристика

Применим метод вычетов [14] и будем считать, что со — комплексная переменная. Контур интегрирования в (8.50) образован всей вещественной осью и дугой достаточно большого радиуса, которая может замыкаться как в верхней, так и в нижней полуплоскостях.

Подынтегральная функция в (8.50) имеет единственный простой полюс в точке с координатой Вычет подынтегральной функции в этой точке

Найдем функцию h(t) при t > 0. Для этого расположим дугу в верхней полуплоскости, поскольку именно в этом случае функция будет экспоненциально стремиться к нулю с ростом радиуса дуги. В пределе контурный интеграл будет равен интегралу, вычисленному лишь вдоль вещественной оси в соответствии с формулой (8.50).

По теореме Коши, контурный интеграл от функции комплексной переменной равен числу умноженному на сумму вычетов подынтегральной функции во всех полюсах, которые лежат внутри контура интегрирования. Таким образом,

Если же требуется найти импульсную характеристику при то контур интегрирования следует замкнуть в нижней полуплоскости, где подынтегральная функция вообще не имеет полюсов и поэтому

График импульсной характеристики RС-цепи, построенный по формулам и (8.52), представляет собой кривую, разрывную при (рис. 8.2).

Представление разрывных функций с помощью контурных интегралов является математическим приемом, широко используемым в теоретических исследованиях.

Рис. 8.2. График импульсной характеристики RC-цепи

Вычисление сигнала на выходе системы.

Как пример использования спектрального метода решим задачу о прохождении экспоненциального видеоимпульса напряжения через RС-цепь, рассмотренную выше. В данном случае спектральная плотность входного сигнала и задача сводится к вычислению интеграла, входящего в выражение

Разлагая алгебраическую часть подынтегральной функции на элементарные дроби, имеем

Структура слагаемых, стоящих в квадратных скобках, позволяет непосредственно использовать результат, полученный при вычислении. импульсной характеристики -цепи, и записать решение при t > 0:

Естественно, что при

Соответствующий график приведен на рис. 8.3.

Коэффициент передачи многозвенной системы.

В радиотехнике часто используют сложные системы, отдельные звенья которых включены каскадно, т. е. выходной сигнал предыдущего звена служит входным сигналом для последующего звена.

Рис. 8.3. Отклик RC-цепи на экспоненциальный видеоимпульс

Примером такой системы может служить многозвенный усилитель.

Положим, что известны частотные коэффициенты передачи отдельных звеньев Возбуждая первое звено сигналом получим на выходе сигнал

откуда результирующий коэффициент передачи

В инженерных расчетах АЧХ систем часто выражают в логарифмических единицах — децибелах. Если на некоторой частоте известен модуль частотного коэффициента передачи, то усиление системы, выраженное в децибелах (дБ),

Если то система ослабляет сигнал и усиление оказывается отрицательным.

Легко видеть, что при каскадном соединении звеньев их усиления суммируются алгебраически:

Дифференцирующие и интегрирующие цепи.

Линейные цепи широко применяют для преобразования формы импульсных радиотехнических колебаний.

Рассмотрим RC-цепь, возбуждаемую источником ЭДС; выходным сигналом является напряжение на резисторе. Дифференциальное уравнение данной цепи имеет вид

Если постоянная времени мала настолько, что в любой момент времени

то первым слагаемым в левой части уравнения (8.58) можно пренебречь по сравнению со вторым и записать

Такая RC-цепь выполняет операцию приближенного дифференцирования сигнала. Схемотехническое применение дифференцирующих цепей — создание обострителей импульсных сигналов.

Выполнение неравенства (8.59) зависит не только от параметров цепи, но и от характеристик входного сигнала. Для оценок здесь проще всего воспользоваться анализом в частотной области. Частотный коэффициент передачи рассматриваемой цепи будет достаточно близок к частотному коэффициенту передачи идеального дифференциатора: если произведение сот пренебрежимо мало по сравнению с единицей в области частот, где сосредоточена основная доля энергии сигнала. Например, пусть входной сигнал — прямоугольный видеоимпульс длительностью Используя грубую оценку верхней граничной частоты в спектре такого импульса: получаем условие, обеспечивающее пригодность RC-цепи для приближенного дифференцирования данного сигнала:

Диаметрально противоположными свойствами может обладать RC-цепь, у которой выходной сигнал, снимаемый с конденсатора, удовлетворяет уравнению

Если параметры цепи и входного сигнала таковы, что

RС-цепь с такими свойствами называется интегрирующей цепью. Приближенное интегрирование выполняется тем точнее, чем больше относительная доля высокочастотных составляющих в спектре входного сигнала. Действительно, поскольку здесь приближенное равенство обеспечивающее интегрирующие свойства цепи, будет справедливо при где — нижняя граничная частота спектра.

Интегрирующие цепи дают возможность подавлять высокочастотные составляющие спектра входного сигнала и поэтому часто, используются как сглаживающие фильтры. Кроме того, они могут преобразовывать скачкообразные перепады входного сигнала в линейно нарастающие импульсы на выходе.

Геометрическая интерпретация процесса преобразования сигнала в линейной системе.

Спектральный метод позволяет наглядно интерпретировать преобразования сигналов, которые происходят при их прохождении через линейные стационарные системы. С геометрических позиций, развитых в системный оператор Т — это правило перехода от вектора некоторого линейного пространства к новому вектору . В самом общем случае можно утверждать, что оператор Т изменяет норму вектора т. е. . Кроме того, между векторами возникает некоторый угол

По формуле Рэлея (см. гл. 3), энергия выходного сигнала

где — энергетический спектр сигнала на входе.

В соответствии с формулой (8.63), выходной энергетический спектр

Величину

называют частотным коэффициентом передачи мощности системы на заданной частоте Поскольку этот коэффициент вещественный, вычисление энергии выходного сигнала оказывается гораздо более простой задачей по сравнению с поиском самой формы выходного сигнала.

Пример 8.15. На входе -цепи с частотным коэффициентом передачи действует идеальный низкочастотный сигнал, энергетический спектр которого отличен от нуля и равен Но лишь в пределах интервала частот Найти отношение энергий сигналов на входе и выходе.

В данном случае По формуле (8.63) энергия выходного сигнала

Энергия входного сигнала

Видно, что отношение этих энергий

(8.65)

стремится к нулю с ростом как постоянной времени , так и верхней граничной частоты спектра.

Угол между векторами входного и выходного сигналов.

В гл. 1 обсуждался способ сравнения двух сигналов, основанный на вычислении угла образованного векторами данных сигналов в гильбертовом пространстве. Эту же идею можно использовать для сопоставления сигналов на входе и выходе линейной стационарной системы.

Обобщенная формула Рэлея позволяет выразить скалярное произведение этих сигналов через их спектральные плотности:

Поскольку мнимая часть коэффициента передачи есть нечетная функция частоты, последняя формула упрощается:

Угол между векторами входного и выходного сигналов можно найти из соотношения

Пример 8.16. Вычислить угол между сигналами на входе и выходе RC-цепи в соответствии с условиями примера 8.15.

Поскольку здесь в данном частном случае интеграл (8.66) численно равен квадрату нормы выходного сигнала. Отсюда следует, что

Если произведение то Это означает, что -цепь создает на выходе сигнал, почти ортогональный по отношению к сигналу на входе. Природу этого эффекта можно понять из качественных рассуждений, приняв во внимание, что благодаря инерционным свойствам цепи выходной сигнал задерживается во времени.

Автокорреляционная характеристика системы.

Заканчивая обзор спектральных методов в теории линейных стационарных систем, упомянем еще об одной полезной функции — так называемой автокорреляционной характеристике системы Ее принято определять как преобразование Фурье от частотного коэффициента передачи мощности:

Наряду с частотным представлением (8.69) возможно и временное представление этой функции. Чтобы осуществить его, заметим, что Поэтому между функциями КР должна существовать такая же связь, которая была найдена в гл. 3 между энергетическим спектром и АКФ произвольного сигнала:

Данная формула раскрывает смысл введенного здесь термина.