1.4. Теория ортогональных сигналов

Введя в множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами.

Это, удается сделать, сформулировав важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства.

Скалярное произведение сигналов.

Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора А и то квадрат модуля их суммы

где — скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла между ними.

Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны - энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

Сравнивая между собой формулы (1.18) и (1.19), определим скалярное произведение вещественных сигналов :

а также косинус угла между ними:

Скалярное произведение обладает свойствами:

1.

2.

3. , где — вещественное число;

4.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством Н.

Справедливо фундаментальное неравенство Кошн — Буняковского

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле

такое, что .

Пример 1.11. Имеются два смещенных во времени экспоненциальных импульса (В):

Найти скалярное произведение данных сигналов, а также угол между ними.

Энергии этих сигналов одинаковы:

Скалярное произведение

Отсюда .

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье.

Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

Пусть Н — гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал в ряд:

Представление (1.27) называется обобщенным рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом: Возьмем базисную функцию с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (1.27) и затем проинтегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (1.28) останется только член суммы с номером поэтому

Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье с.

Примеры ортонормированных базисов.

Способы построения систем взаимно ортогональных функций подробно изучены в математике (см., например, [7]). Здесь в качестве примеров будут описаны две наиболее важные и распространенные системы.

Ортонормированная система гармонических функций. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что на отрезке система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом.

образует ортонормированный базис.

Разложение периодических функций в ряды Фурье по этой системе будет подробно рассмотрено в гл. 2.

Ортонормированная система функций Уолшр. В последнее время под влиянием методов обработки дискретных сигналов большое внимание уделяют ортонормированной системе функций Уолша, которые на отрезке своего существования принимают лишь значения ±1.

Введем безразмерное время и будем обозначать функцию Уолша, как это принято, символом Аналитическое описание данных функций довольно сложно (см. Приложения). Однако идею построения этой системы легко усмотреть из рис. 1.4, на котором изображены графики нескольких первых функций Уолша.

Очевидна нормированность функций Уолша при любом значении k:

Рис. 1.4. Графики нескольких первых функций Уолша

Ортогональность этих функций следует из принципа их построения и может быть проверена непосредственно. Например:

Разложение сигнала с. конечной энергией, заданного на отрезке времени в обобщенный ряд Фурье функциям Уолша имеет вид

Пример 1.12. Найти перше два коэффициента в разложении гимпульса треугольной формы по системе функций Уолша.

На отрезке времени разлагаемый сигнал описывается функцией

Вычисляем коэффициенты обобщенного ряда Фурье:

Итак, при аппроксимации колебания треугольной формы двумя первыми членами ряда по системе функций Уолша получается приближенное представление ступенчатой формы. Отметим, что с точки зрения введенной выше энергетической нормы уже такая грубая аппроксимация является удовлетворительной. Действительно, энергия исходного сигнала

в то время как энергия разности

составляет лишь или 6,25% от энергии апроксимируемого сигнала.

Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье.

Рассмотрим некоторый сигнал , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:

и вычислим его энергию, непосредственно подставив, этот ряд в соответствующий интеграл:

Поскольку базисная система функций ортонормнрована, в сумме (1.32) отличными от нуля окажутся только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат:

Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису. Для сигналах введем конечномерную аппроксимацию:

с не известными пока коэффициентами с и выберем эти коэффициенты так, чтобы минимизировать энергию ошибки аппроксимации:

Необходимое условие минимума состоит в том, что коэффициенты должны удовлетворять системе линейных уравнений

В развернутой форме энергия ошибки аппроксимации

Поскольку рассматриваемая базисная система функций ортогональна, отсюда следует, что

Приняв во внимание единичную норму базисных функций, приходим к выводу, что равенства (1.35) будут выполняться, если

что полностью совпадает с выражением (1.29) для коэффициентов обобщенного ряда Фурье,

Более тщательный анализ (на нем здесь не останавливаемся), когда рассматривается также вторая производная энергии ошибки, показывает, что при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье обеспечивается не просто экстремум, а именно минимум энергии ошибки аппроксимации.

Напомним в заключение, что гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством полноты: если предельное значение суммы

существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова пространства.

В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом N — числом учитываемых членов ряда. Выбирая N достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины.

Аппаратурная реализация ортогонального разложения сигнала.

Рассмотрим структурную схему устройства для экспериментального определения коэффициентов разложения аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье по заданной системе ортонормированных базисных функций (рис. 1.5).

Основными элементами здесь являются генераторы тех базисных функций, по которым проводится разложение. Анализируемый сигнал одновременно подается на совокупность множительных звеньев, осуществляющих перемножение этого сигнала и соответствующей базисной функции. С. выходов перемножителей сигналы поступают на интеграторы. При таком методе обработки сигнала в конце промежутка времени интегрирования на выходе каждого интегратора возникает неизменный во времени уровень, величина которого в соответствии с формулой (1.29) в точности равна тому или иному коэффициенту обобщенного ряда Фурье.

Рис. 1.5. Структурная схема устройства для аппаратурного анализа сигналов

Ясно, что работоспособность системы в целом будет зависеть от того, насколько точно удается воссоздать базисные функции, а также от совершенства функционирования перемножителей и интеграторов.

Система, изображенная на рис. 1.5, важна и в прикладном, и в теоретическом смысле. Анализируя ее, еще раз убеждаемся, что вся информация, заключенная в сигнале, может быть представлена в виде хотя и бесконечной, но все же счетной совокупности чисел.