11.4. Безынерционные нелинейные преобразования суммы нескольких гармонических сигналов

Свойство нелинейной цепи обогащать спектр, создавая на выходе спектральные составляющие, первоначально отсутствующие на входе, ярче всего проявляется, если входной сигнал представляет собой сумму некоторого числа гармонических колебаний с различными частотами. Эффект возникновения большого числа новых спектральных составляющих лежит в основе важных для радиотехники нелинейных преобразований сигналов.

Бигармоническое воздействие на нелинейный элемент со степенной характеристикой.

Будем изучать нелинейный двухполюсник, вольт-амперная характеристика которого для конкретности описывается многочленом 2-й степени:

Приложенное напряжение помимо постоянной составляющей содержит два гармонических колебания с различными частотами и амплитуды колебаний равны соответственно:

(11.30)

Такой сигнал в радиотехнике принято называть бигармоническим воздействием. Он очень удобен для выяснения принципиальных особенностей преобразования спектра в нелинейных цепях.

Подставим сигнал (11.30) в формулу (11.29):

Выполнив элементарные тригонометрические преобразования и сгруппировав члены, приходим к следующему спектральному представлению тока в нелинейном двухполюснике:

(11.31)

Видно, что в составе тока присутствуют слагаемые, встречавшиеся ранее: постоянная составляющая, а также первые и вторые гармоники обоих источников входного сигнала.

Принципиально новым является появление двух гармонических составляющих с частотами Амплитуды этих колебаний, равные в одинаковой мере зависят от амплитуд входных сигналов и обращаются в нуль, если один из источников на входе отсутствует. Это свидетельствует о том, что из-за нелинейности рассматриваемого двухполюсника в нем происходит взаимодействие колебаний, соответствующих отдельным гармоническим составляющим входного сигнала. На рис. 11.7 изображена полная спектральная диаграмма тока в двухполюснике применительно к выбранному виду входного сигнала.

Влияние кубичного члена вольт-амперной характеристики.

Несколько усложним задачу и будем считать, что в составе вольт-амперной характеристики имеется кубическое слагаемое, которое обусловливает дополнительный ток

Рис. 11.7. Спектральная диаграмма тока в нелинейном двухполюснике с вольт-амперной характеристикой, описываемой квадратичным многочленом (входной сигвал — бигармоническое колебание, спектр которого на рисунке выделен)

Подставив сюда сигнал (11.30), получим

(11.33)

Видно, что, с одной стороны, кубичное слагаемое несколько изменяет уровень амплитуд первых гармоник тока, имеющих частоты Существеннее, однако, появление новых спектральных составляющих с частотами

Комбинационные частоты.

Рассмотрим общую постановку задачи о воздействии нескольких гармонических сигналов с разными частотами на безынерционный нелинейный элемент.

Пусть к данному элементу приложено М напряжений сигналов, имеющих вид

По отношению к одному из этих источников, скажем, с частотой нелинейный элемент представляет собой двухполюсник, описываемый вольт-амперной характеристикой

(11.34)

Выражение (11.34) представляет собой функцию М независимых аргументов по каждому из них функция периодична с периодом поэтому она может быть разложена в М-кратный ряд Фурье:

(11.35)

Коэффициенты данного ряда

(11.36)

Функция четная по каждому из аргументов, поэтому ряд (11.35) фактически имеет вид

Амплитудные коэффициенты этого ряда не зависят от того, какие знаки (положительные или отрицательные) имеют индексы суммирования.

Полученное общее решение дает возможность представить ток в рассматриваемом двухполюснике как функцию времени:

Всевозможные частоты гармонических колебаний, входящие в формулу (11.37), называют комбинационными частотами:

(11.38)

где — любые целые числа, положительные и отрицательные, включая нуль.

Таким образом, показано, что спектр тока в безынерционном нелинейном двухполюснике, находящемся под воздействием нескольких гармонических сигналов с различными частотами, образован в общем случае бесконечной совокупностью комбинационных частот вида (11.38).

Комбинационные частоты принято группировать, объединяя вместе все для которых

Число N называют порядком комбинационной частоты. Рассмотренный ранее частный пример показывает, что в спектре тока, проходящего через нелинейный элемент с характеристикой, содержащей степени не выше 3-й, при возбуждении системы суммой двух гармонических сигналов наблюдаются комбинационные следующие частоты:

Можно заметить закономерность: слагаемое со степенью N в вольт-амперной характеристике элемента дает комбинационные составляющие с предельным порядком, равным степени этого слагаемого. При этом если N — четное число, то возникают комбинационные частоты четных порядков: вплоть до (постоянная составляющая). Если же N нечетно, то порядки комбинационных частот также нечетны: вплоть до

Пример 11.3. Нелинейный двухполюсник имеет кубическую ВАХ Входное напряжение является суммой трех гармонических колебаний: Найти частоты всех комбинационных составляющих тока.

Поскольку степень ВАХ равна трем, будут наблюдаться комбинационные частоты с

Комбинационные частоты порядка: Комбинационные частоты порядка:

Фактически необходимо учитывать лишь различающиеся частоты. Так, выражениям отвечает одна и та же частота.

Эффекты, сопровождающие нелинейные преобразования нескольких колебаний.

Возникновение комбинационных составляющих в выходном сигнале безынерционного нелинейного преобразователя, а также зависимость амплитуд комбинационных колебаний на выходе от амплитуд сигналов на входе обусловливает ряд принципиально важных эффектов, с которыми приходится сталкиваться при построении радиотехнических устройств и систем.

К числу таких явлений относится в первую очередь перенос модуляции с одной несущей частоты на другую.

Пусть, например, к входу нелинейного двухполюсника с кубической ВАХ

(11.40)

помимо постоянного напряжения смещения приложена сумма двух напряжений: однотонального АМ-сигнала и смодулированного сигнала

На основании формулы (11.33) убеждаемся, что составляющая тока с частотой имеет при этом амплитуду

(11.41)

Видно, что рассматриваемая составляющая представляет собой АМ-колебание, промодулированное частотами Q и Налицо перенос модуляции с несущей частоты на новую несущую частоту

Из формулы (11.33) следует, что промодулированными по амплитуде окажутся также комбинационные колебания с частотами

Описанное здесь явление в радиотехнике называют интермодуляцией. Следствием его может оказаться весьма ощутимое снижение работоспособности приемного устройства, которое содержит нелинейный элемент, возбуждаемый несколькими сигналами. Если даже частоты этих сигналов существенно отличаются от номинальной рабочей частоты приемника, одна или несколько комбинационных частот могут попасть в полосу пропускания и быть приняты наравне с полезным сигналом.

Борьба с интермодуляционнымн сигналами — одна из составных частей работы по обеспечению электромагнитной совместимости (ЭМС) радиоэлектронных средств.

К интермодуляции близко примыкает явление, состоящее в том, что за счет нелинейного взаимодействия происходит усиление или подавление одного сигнала другим. Проиллюстрируем это на примере нелинейного элемента с ВАХ вида (11.40). Пусть на входе действуют два немодулированных сигнала с различными частотами: Амплитуда тока в соответствии с формулой (11.41) существенным образом зависит не только от «собственной» амплитуды но и от амплитуды источника с частотой

Характер этой зависимости определяется знаком коэффициента Если то второй сигнал усиливается за счет энергии первого. Если же то, наоборот, наблюдается подавление одного сигнала другим.

Отметим, что нелинейное подавление всегда проявляется по отношению к более слабому сигналу. Сильная помеха может настолько подавить слабый полезный сигнал, что дальнейшее его усиление становится практически невозможным из-за шумов. Однако встречается и обратная ситуация — сильный полезный сигнал, взаимодействуя в нелинейном элементе приемника со слабой помехой, подавляет ее, так что качество приема улучшается.