12.2. Энергетические соотношения в параметрических реактивных элементах цепи

Целым рядом особых свойств обладают параметрические реактивные элементы, у которых либо емкость либо индуктивность переменны во времени. Ниже на примере параметрически управляемого конденсатора будет показано, что в определенных условиях такие элементы могут выступать в роли «посредников», передающих часть энергии от внешних управляющих источникоа, так называемых генераторов накачки, к цепям, несущим полезный сигнал. На этом принципе основано параметрическое усиление сигналов, которое будет изучаться в следующем параграфе.

Связь между емкостью конденсатора и запасенной энергией.

Для уяснения физических основ процессов, происходящих в реактивных параметрических цепях, рассмотрим плоский конденсатор с емкостью С и расстоянием между обкладками, заряженный до напряжения Конденсатор несет разделенный заряд

Предположим, что зазор между обкладками механически увеличен до величины Перемещение производится в направлении против силы электрического поля, стремящейся сблизить обкладки. Поэтому внешние силы совершают некоторую положительную работу и запас энергии поля в конденсаторевозрастает.

Для того чтобы получить количественные оценки, заметим, что исходная энергия конденсатора . Если емкость получила приращение , то приращение энергии

(12.21)

поскольку ток проводимости отсутствует и заряд q неизменен.

Вычисляя емкость С по известной формуле плоского конденсатора — площадь обкладки), имеем следующее выражение для относительного приращения емкости: откуда приращение энергии конденсатора

Как и следовало ожидать, для увеличения запаса энергии электрического поля в системе необходимо за счет внешних факторов уменьшить емкость заряженного конденсатора.

Параметрическое возбуждение колебательного контура.

Если величина заряда q постоянна, то невозможно добиться непрерывного притока энергии в изолированный конденсатор, периодически изменяя его емкость вокруг некоторого среднего значения. Внешний источник накачки, совершив положительную работу на отрезке времени, когда емкость уменьшалась, получит от конденсатора обратно ровно такую же порцию энергии в процессе увеличения емкости. Поэтому усредненная за период мощность накачки будет равна нулю.

Другая картина наблюдается а колебательной системе, где напряжение на конденсаторе изменяет знак, переходя через нуль.

Рассмотрим добротный колебательный контур, образованный постоянной индуктивностью L, параметрической емкостью и сопротивлением потерь R. Предположим, что в контуре каким-либо образом возбуждены собственные колебания. Пренебрегая незначительным уменьшением амплитуды колебаний из-за потерь, будем считать, что — амплитуда напряжения на конденсаторе, которое изменяется во времени с частотой собственных колебаний Здесь — среднее значение емкости.

Пусть емкость конденсатора периодически изменяется следующим образом: дважды за период собственных колебаний, в те моменты времени, когда напряжение на конденсаторе экстремально, емкость скачком уменьшается на величину АС. Возвращение в исходное состояние, т. е. положительный перепад емкости наблюдается в моменты времени, когда напряжение на конденсаторе проходит через нуль.

При такой накачке будет наблюдаться однонаправленный приток энергии в колебательный контур. Действительно, работа внешних сил, выполняемая в моменты отрицательных перепадов емкости, всегда положительна независимо от знака напряжения на обкладках. Возвращение емкости в исходное состояние будет совершаться в моменты времени, когда напряжение на конденсаторе равно нулю, 1. е. без затраты энергии. Если

— максимальная энергия, запасаемая в конденсаторе, то, согласно формуле (12.21), за период собственных колебаний система получит энергию накачки

(12.22)

В то же время средняя мощность потерь в контуре

Энергия, рассеиваемая в резисторе за период колебаний Т, составит величину

(12.24)

Если выполняется равенство

(12.25)

то за счет действия источника накачки происходит компенсация потерь в контуре. Если же , то система становится неустойчивой и амплитуда колебаний в контуре будет экспоненциально нарастать, т. е. произойдет параметрическое возбуждение колебательной системы. Из (12.22) и (12.24) вытекает соотношение, определяющее критическое значение относительного изменения емкости:

(12.26)

Значения , как правило, невелики. Так, для параметрического возбуждения контура с параметрами достаточно иметь

Анализ приведенного здесь частного примера системы с управляемой емкостью проведен в предположении, что сигнал накачки изменяет емкость конденсатора дважды за период собственных колебаний. Однако легко видеть, что эффект параметрического возбуждения колебательной системы будет наблюдаться и тогда, когда основная частота негармонического напряжения накачки Важно лишь, чтобы в спектре сигнала накачки присутствовала составляющая с частотой

Для работы параметрического генератора требуется также, чтобы в процессе возбуждения между собственными колебаниями контура и колебаниями генератора накачки поддерживались строгие фазовые соотношения. Достаточно сдвинуть сигнал накачки по фазе на половину периода, как положительный перепад емкости будет приходиться на те моменты времени, когла напряжение на конденсаторе проходит через экстремумы. При этом параметрический конденсатор уже не будет поставлять энергию в контур, а начнет выполнять роль дополнительной резистивной нагрузки.

Связь между напряжением и током в параметрическом конденсаторе.

Рассмотрим цепь, образованную источником напряжения сигнала и управляемым конденсатором, емкость которого изменяется во времени по гармоническому закону с частотой накачки:

(12.27)

Здесь — коэффициент, характеризующий глубину модуляции емкости.

Поскольку заряд в конденсаторе ток в цепи

Воспользовавшись известной формулой тригонометрии

можно представить произведения, стоящие в первом и третьем слагаемых правой части формулы (12.28), так:

Следовательно,

(12.31)

Это выражение устанавливает спектральной диаграммы тока в параметрическом конденсаторе. Спектр, помимо составляющей на частоте сигнала, содержит боковых колебания с частотами и

Средняя мощность, потребляемая параметрическим конденсатором на частоте сигнала.

Из теории цепей известно, что для существования некоторого среднего потока мощности от источника к нагрузке требуется, чтобы в гармоническом режиме сдвиг фаз между током и напряжением был отличен от 90°.

Как видно из формулы (12.31), в составе тока, проходящего через параметрический конденсатор, всегда присутствует реактивная составляющая на частоте сигнала:

Этот ток, находясь во временной квадратуре с напряжением источника, в среднем не выделяет мощности. Однако при соответствующем выборе частоты накачки можно добиться появления еще одной составляющей тока с частотой сигнала. Как видно из выражений (12,29) и (12.30), для этого достаточно положить . Тогда ток через параметрический конденсатор будет содержать составляющую, которую назовем полезной:

(12.32)

Мгновенная мощность полезной составляющей

Мощность полезной составляющей, усредненная за период сигнала,

(12.33)

Схема замещения параметрического конденсатора.

Формула (12.33) свидетельствует о том, что в зависимости от соотношения между начальными фазами источника входного сигнала и генератора колебаний накачки значение средней мощности может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому при соответствующем выборе углов возможен режим, когца параметрически управляемый конденсатор ведет себя подобно активному элементу, не потребляя, а поставляя в цепь мощность на частоте входного сигнала.

Введя угол запишем выражение средней мощности колебательного процесса в конденсаторе в виде

Здесь

(12.34)

— активное сопротивление, вносимое данным элементом в цепь. Схема замещения параметрического конденсатора, управляемого источником накачки с удвоенной частотой сигнала, представляет собой параллельное соединение емкости и сопротивления . Для того чтобы этот элемент вел себя подобно генератору, необходимо иметь отрицательное значение вносимого активного сопротивления.