15.5. Реализация алгоритмов цифровой фильтрации

Физически осуществимые ЦФ, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в дискретный момент времени могут использовать следующие данные: а) значение входного сигнала в момент отсчета, а также некоторое число «прошлых» входных отсчетов некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала Целые числа тип определяют порядок ЦФ. Классификация ЦФ проводится по-разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы.

Трансверсальные ЦФ.

Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом

(15.58)

где — последовательность коэффициентов.

Число является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (15.58), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не использует прошлые отсчеты выходного сигнала. Применив z-преобразование к обеим частям выражения (15.58), убеждаемся, что

Отсюда следует, что системная функция

является дробно-рациональной функцией z, имеющей -кратный полюс при и нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.

Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ поясняется структурной схемой, приведенной на рис. 15.7.

Рис. 15.7. Схема построения трансверсального ЦФ

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (прямоугольники с символами ), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков сигналы поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.

Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse — поперечный).

Программная реализация трансверсального ЦФ.

Следует иметь в виду, что структурная схема, изображенная на рис. 15.7, не является принципиальной схемой электрической цепи, а служит лишь графическим изображением алгоритма обработки сигнала. Используя средства языка ФОРТРАН, рассмотрим фрагмент программы, реализующей трансверсальную цифровую фильтрацию.

Пусть в оперативной памяти ЭВМ образованы два одномерных массива длиной М ячеек каждый: массив с именем X, в котором хранятся значения входного сигнала, и массив с именем А, содержащий значения коэффициентов фильтра.

Содержимое ячеек массива X меняется каждый раз с получением нового отсчета входного сигнала.

Предположим, что этот массив заполнен предыдущими отсчетами входной последовательности, и рассмотрим ситуацию, возникающую в момент прихода очередного отсчета, которому в программе просвоено имя S. Данный отсчет должен разместиться в ячейке с номером 1, но лишь после того, как предыдущая запись будет сдвинута на одну позицию вправо, т. е. в сторону запаздывания.

Элементы сформированного таким образом массива X почленно умножаются на элементы массива А и результат заносится в ячейку с именем Y, где накапливается отсчетное значение выходного сигнала. Ниже приводится текст программы трансверсальной цифровой фильтрации:

Импульсная характеристика. Вернемся к формуле (15.59) и вычислим импульсную характеристику трансверсального ЦФ, осуществив обратное z-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функции дает вклад, равный соответствующему коэффициенту , смещенному на позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь

(15.60)

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (см. рис. 15.7) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» .

Важно отметить, что импульсная характеристика трансверсального фильтра содержит конечное число членов.

Частотная характеристика.

Если в формуле (15.59) провести замену переменной то получим частотный коэффициент передачи

(15.61)

При заданном шаге дискретизации А можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра.

Пример 15.4. Исследовать частотные характеристики трансверсального цифрового фильтра 2-го порядка, выполняющего усреднение текущего значения входного сигнала и двух предшествующих отсчетов по формуле

(15.62)

Системная функция этого фильтра

Рис. 15.8. Частотные характеристики трансверсального ЦФ из примера 15.4: а - АЧХ; б - ФЧХ

откуда находим частотный коэффициент передачи

Элементарные преобразования приводят к следующим выражениям для АЧХ в ФЧХ данной системы:

Соответствующие графики представлены на рис. 15.8, а, б, где по горизонтальным осям отложена величина — фазовый угол интервала дискретизации при текущем значении частоты.

Предположим, например, что , т. е. на один период гармонического входного колебания приходится шесть отсчетов. При этом входная последовательность будет иметь вид

(абсолютные значения отсчетов не играют роли, поскольку фильтр линеен). Используя алгоритм (15.62), находим выходную последовательность:

Можно заметить, что ей отвечает гармонический выходной сигнал той же частоты, что и на входе, с амплитудой, равной от амплитуды входного колебания и с начальной фазой, смещенной на 60° в сторону запаздывания.

При рассматриваемый фильтр сглаживает входную последовательность и может играть роль ФНЧ. Однако частотная характеристика фильтра периодична и немонотонна. Если исходный аналоговый сигнал не был подвергнут предварительной частотной фильтрации и в нем присутствуют составляющие, для которых (условия теоремы Котельникова не выполняются), то они не будут ослабляться данным ЦФ. Более того, из-за наличия высокочастотных составляющих цифро-аналоговый преобразователь восстановит некоторое низкочастотное колебание, которое совсем не содержалось во входном сигнале. Это паразитное явление (эффект «наложения» или «маскировки» высокочастотных составляющих спектра) в принципе присуще любым дискретным системам.. Оно заставляет уделять серьезное внимание предварительной обработке сигнала, подвергаемого цифровой фильтрации.

Рекурсивные ЦФ.

Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, и выходного сигнала:

(15.63)

причем коэффициенты , определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсивными фильтрами.

Системная функция рекурсивного ЦФ.

Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (15.63), находим, что системная функция

описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет на z-плоскости полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Структурная схема рекурсивного ЦФ.

На рис. 15.9 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (15.63). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае масштабных блоков (операций умножения) и ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.

Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в ячейку путем сдвига.

Рис. 15.9. Структурная схема рекурсивного ЦФ

Рис. 15.10. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 2-го порядка

Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел . В качестве примера на рис. 15.10 изображена структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция

Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения:

(15.67)

Выполнив -преобразование уравнения (15.66), находим, что

(15.68)

С другой стороны, в соответствии с выражением (15.67)

(15.69)

Объединив соотношения (15.68) и (15.69), приходим к заданной системной функции (15.65).

Устойчивость рекурсивных ЦФ.

Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т. е. совокупность значений то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности играющей роль свободных колебаний.

Цифровой фильтр называется устойчивыу, если возникающий в нем свободный процесс, есть невозрастающая последовательность, т. е. значения при не превышают некоторого положительного числа М независимо от выбора начальных условий.

Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.63) являются решением линейного разностного уравнения

(15.70)

По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.70) в виде показательной функции

(15.71)

с неизвестным пока значением . Подставив (15.71) в (15.70) и сократив на обший множитель, убеждаемся, что а является корнем характеристического уравнения

На основании (15.64) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.

Пусть система корней уравнения (15.72) найдена. Тогда общее решение разностного уравнения (15.70) будет иметь вид

(15.73)

Коэффициенты должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия.

Если все полюсы системной функции т. е. числа по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке то на основании (15.73) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры.

Пример 15.5. Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка с системной функцией

Характеристическое уравнение

имеет корни

Кривая, описываемая уравнением на плоскости коэффициентов есть граница, выше которой полюсы системной функции вещественны, а ниже — комплексно сопряжены.

Для случая комплексно-сопряженных полюсов поэтому одной из границ области устойчивости является прямая 1.

Рис. 15.11. Область устойчивости рекурсивного фильтра 2-го порядка (полюсы фильтра комплексно сопряжены в области, отмеченной цветом)

Рассматривая вещественные полюсы при имеем условие устойчивости в виде

или

Возведя в квадрат обе части этого неравенства, видим, что границей области устойчивости является прямая Аналогично исследуется случай

В результате приходим к выводу, что данный рекурсивный фильтр устойчив, если значения коэффициентов лежат внутри треугольной области, изображенной на рис. 15.11.

Критерий устойчивости рекурсивного ЦФ.

Задачу об устойчивости рекурсивного ЦФ произвольного порядка можно решить, связав данную проблему с расположением корней многочленов (см. гл. 14). Для этого заметим, что преобразование вида

(15.74)

взаимно-однозначно отображает левую полуплоскость комплексной переменной w на единичный круг в комплексной плоскости z с центром в точке . Действительно, точке соответствует точка z = 0. В то же время мнимая ось в -плоскости, т. е. совокупность точек с координатами — произвольное вещественное число), отображается в множество точек единичной окружности .

Возьмем характеристическое уравнение ЦФ

и подставим в него переменную z, выраженную через переменную w, согласно формуле (15.74):

Приведя это выражение к общему знаменателю получим характеристическое уравнение относительно переменной w

(15.76)

Если многочлен по степеням w, образующий левую часть последней формулы, имеет корни лишь в левой полуплоскости, то исходный характеристический многочлен вида (15.75) имеет корни, располагающиеся лишь в единичном круге на z-плоскости. Как следствие, анализируемый рекурсивный ЦФ будет устойчивым.

Пример 15.6. Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 3-го порядка с характеристическим уравнением

В соответствии с формулой (15.76) получаем преобразованное уравнение

Здесь все коэффициенты положительны и в то же время (см. гл. По критерию Рауса — Гурвица, данный многочлен устойчив. Значит, устойчив и анализируемый цифровой фильтр.

Импульсная характеристика рекурсивного ЦФ.

Характерная черта, отличающая рекурсивный ЦФ, состоит в том, что из-за наличия обратной связи его импульсная характеристика имеет вид неограниченно-протяженной последовательности. Покажем это на примере простейшего фильтра 1-го порядка, описываемого системной функцией

Данный фильтр устойчив, если

Известно [см. формулу (15.57)], что импульсную характеристику можно найти с помощью обратного преобразования, примененного к системной функции. Используя формулу (15.36), находим член в последовательности

Интегрирование осуществляется по единичной окружности, внутри которой располагается точка полюса

Поскольку вычет подынтегральной функции в точке полюса равен, как легко видеть, искомая импульсная характеристика фильтра представляет собой убывающую геометрическую прогрессию

(15.78)