14.4. Автогенераторы гармонических колебаний. Режим малого сигнала

Часто в активных радиотехнических цепях возникают периодические автоколебания. Так принято называть колебательные процессы, существующие без внешнего периодического воздействия. Устройства, генерирующие автоколебания, называют автоколебательными системами, или - автогенераторами. Работа любого автогенератора основана на том, что энергия от источника питания через управляемый элемент, например транзистор, подается в колебательную систему. Сигнал, управляющий транзистором, снимается с этой же колебательной системой и подается на входной электрод транзистора через цепь обратной связи.

При соответствующем выборе параметров такая система становится неустойчивой. Амплитуды любых малых колебаний, вызванных, например, тепловыми шумами, неограничено возрастают. Однако по мерю роста амплитуды существенную роль начинают играть нелинейные свойства управляемого элемента. Это ведет к тому, что амплитуда автоколебаний достигает некоторого установившегося значения и в дальнейшем остается практически постоянной. Говорят, что при этом автогенератор работает в стационарном режиме.

Рис. 14.11. Схема автогенератора с трансформаторной связью

При анализе и расчете автогенераторов возникают две основные задачи:

1) выяснить, при каких условиях устройство с обратной связью становится неустойчивым, т. е. самовозбуждается;

2) определить амплитуду и частоту автоколебаний в стационарном режиме.

Первую из этих задач решить относительно несложно, поскольку при малых амплитудах автоколебаний на начальном этапе процесса нелинейный управляемый элемент может быть эквивалентно заменен линейной схемой замещения. Намного сложнее решить вторую задачу, состоящую в исследовании системы с обратной связью при условии, что нелинейными эффектами пренебречь нельзя.

Самовозбуждение простейшего автогенератора.

Исследование процессов в автогенераторах начнем с устройства (рис. 14.11), называемого автогенератором с трансформаторной связью.

Колебательной системой здесь служит LCR-контур, элементом обратной связи — катушка размещенная таким образом, что создаваемый ею магнитный поток частично пронизывает катушку

Пусть в устройстве каким-либо образом возбуждены малые колебания. Если — напряжение на конденсаторе (и соответственно на управляющем электроде электронного прибора), то по второму закону Кирхгофа можно составить следующее дифференциальное уравнение, описывающее данную систему:

где i — ток в цепи обратной связи. Знак в правой части (14.36) зависит от того, каким образом (встречно или согласно) включены катушки .

Сделаем основное предположение — будем считать управляющее напряжение и столь малым, что электронный прибор вполне точно может быть заменен управляемым источником тока, выходной сигнал которого линейно зависит от управляющего напряжения:

(14.37)

Здесь — постоянная составляющая тока; — дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики прибора в фиксированной рабочей точке.

Объединив выражения (14.36) и (14.37), получаем следующее уравнение системы:

где — частота собственных колебаний контура без потерь.

Варьируя коэффициент взаимоиндукции М, можно изменять коэффициент при производной du/dt. Знак и значение этого коэффициента, как известно, определяют характер свободных колебаний в такой динамической системе.

Если в уравнениях (14.36) и (14.38) выбраны верхние знаки, то за счет обратной связи будет наблюдаться регенерация. Если величина М достигает критического значения

(14.39)

где Q — добротность контура без учета регенерации, то уравнение (14.38) приобретает вид свойственный идеальной колебательной системе без потерь.

При устройство становится неустойчивым. Введя параметр

получим дифференциальное уравнение

решение которого описывает гармонические колебания с экспоненциально нарастающей во времени амплитудой:

(14.40)

(А и В — постоянные, зависящие от начальных условий).

Практически всегда и в соответствии с (14.40) частота заполнения автоколебаний, возникающих в линейном режиме, близка к частоте собственных колебаний контура.

Подчеркнем физический смысл правильного выбора знака в уравнении (14.38), который обеспечивает неустойчивость начального состояния автогенератора: для самовозбуждения системы необходимо, чтобы любое возмущение колебательного контура приводило к появлению такого сигнала положительной обратной связи, который, складываясь с первоначальным возмущением, увеличивал бы его. Именно таким образом трактуется понятие положительной обратной связи в теории автоколебательных систем.

Трехточечные автогенераторы.

На практике вместо автогенераторов с трансформаторной связью чаще используют так называемые автогенераторы-трехточки, в которых напряжение обратной связи снимается с части колебательного контура.

Рис. 14.12. Автогенератор по схеме индуктивной трехтонки: а — принципиальная схема (источники питания и смещения не показаны); б — эквивалентная схема с разомкнутой цепью обратной связи

На рис. 14.12, а, 6 изображены принципиальная и эквивалентная схемы индуктивной трехточки.

Наличие резистора R учитывает все виды потерь в системе — иеидеальность реактивных элементов, конечное (хотя и достаточно большое) выходное сопротивление электронного прибора, а также влияние внешних цепей (нагрузок).

Найдем условия самовозбуждения индуктивной трехточки, исследуя характеристическое уравнение этой системы с замкнутой обратной связью.

Если — изображения сигналов на входе и выходе при разомкнутой цепи обратной связи (рис. 14.12, б), так что известна передаточная функция то характеристическое уравнение, описывающее замкнутую цепь, как было выяснено, имеет вид [см. формулу (14.18)]

Для того чтобы найти функцию учтем, что напряжение на зажимах контура возникает за счет тока — проходящего через последовательно-параллельно соединенные элементы

Поскольку характеристическое уравнение (14.41) приобретает вид

(14.42)

В данном случае

Подставив эти выражения в (14.42) и выполнив несложные алгебраические преобразования, получим характеристические уравнения замкнутой системы:

(14.43)

Цепь будет неустойчивой, если определитель Гурвица отрицателен:

или

Отсюда находим условие самовозбуждения данного автогенератора:

(14.44)

Частота экспоненциально нарастающих собственных колебаний определяется корнями кубического уравнения (14.43). Аналитическое решение здесь довольно громоздко. Однако из физических соображений ясио, что трехточечный автогенератор самовозбуждается на резонансной частоте сорез в самом деле, на этой частоте сопротивление нагрузки электронного прибора вещественно; комплексная амплитуда напряжения сдвинута по фазе на 180° относительно . В контуре наблюдается резонанс токов, элементы L, и обтекаются одним и тем же контурным током, поэтому ивых Напряжения и совпадают по фазе, так что при выполнении условия (14.44) автогенератор действительно самовозбуждается.

Пример 14.5. Трехточечный автогенератор имеет колебательный контур, настроенный на частоту сорез Дифференциальная крутизна проходной характеристики электронного прибора в рабочей точке Добротность контура емкость конденсатора Найти значения индуктивностей обеспечивающие уверенное самовозбуждение автогенератора.

В данном автогенераторе роль шунтирующего резистора потерь R выполняет резонансное сопротивление контура . Характеристическое сопротивление , откуда . Произведение поэтому на основании формулы (14.44) с некоторым запасом положим Полная индуктивность Из двух последних равенств получаем (округленно)

Другим вариантом схемы трехточечного автогенератора является так называемая емкостная трехточка, в которой напряжение обратной связи снимается с емкостного делителя, образованного конденсаторами Анализ условий самовозбуждения такой схемы проводится аналогично описанному ранее.

RС-автогенераторы гармонических колебаний.

На частотах ниже нескольких десятков килогерц применять в качестве колебательных систем автогенераторов резонансные LC-контуры становится затруднительным, главным образом изтза больших массогабаритных размеров индуктивных элементов. Поэтому на этих частотах, как правило, используют RC-автогенераторы, представляющие собой комбинации активных четырехполюсников (усилителей) и пассивных RС-цепей, играющих роль элементов обратной связи.

Рис. 14.13. Автогенератор с двумя RC-цепями: а — принципиальная схема; б — схема с разомкнутой цепью обратной связи

Пусть — передаточная функция некоторой разомкнутой цепи и — характеристическое уравнение, описывающее поведение системы с замкнутой обратной связью. Для того чтобы такая система была неустойчивой и могла генерировать гармонические колебания в стационарном режиме, характеристическое уравнение должно иметь, по крайней мере, одну пару комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью. Мнимая часть корней будет при этом определять генерируемую частоту.

Получим условие самовозбуждения часто используемого автогенератора с двумя -цепями (рис. 14.13, а).

Основой генератора является идеальный усилитель с вещественным и положительным коэффициентом усиления Выход усилителя соединен с его входом через пассивный -четырехполюсник, передаточная функция которого по напряжению в соответствии с рис. 14.13,б имеет вид

Здесь введены следующие обозначения: Характеристическое уравнение автогенератора очевидно, можно записать так:

(14.46)

Описываемая система становится неустойчивой при таком выборе параметров, когда коэффициент при первой степени , проходя через нуль, меняет знак. Для самовозбуждения автогенератора необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Отсюда получаем условие, налагаемое на коэффициент усиления активного звена:

(14.47)

В частности, если обе -цепи идентичны, то система самовозбуждается, когда

Мнимая часть корней уравнения (14.46) зависит не только от параметров но и от коэффициента усиления Для оценки генерируемой частоты будем приближенно считать, что автогенератор работает на границе самовозбуждения и поэтому коэффициент при первой степени равен нулю.

Тогдв из характеристического уравнения находим значение генерируемой частоты:

(14.48)

Отметим в заключение, что -автогенератор существенно уступает -автогенераторам с точки зрения качества спектрального состава генерируемых колебаний. Это связано с тем, что в них цепь обратной связи не содержит колебательных контуров и не может в достаточной мере отфильтровать нежелательные высшие гармоники. Удовлетворительная форма генерируемых колебаний достигается специальными схемотехническими мерами, например за счет использования дополнительной цепи нелинейной инерционной обратной связи.

Автогенераторы с внутренней обратной связью.

Рассмотренные ранее схемы автогенераторов содержат специально созданные цепи положительной обратной связи. Однако возможен и другой прицип построения автогенераторов, когда в колебательный контур вводится отрицательная активная проводимость.

Если, например, — активная составляющая входного сопротивления контура при резонансе, — параллельно включенная отрицательная проводимость, вносимая электронным прибором, то условие самовозбуждения системы заключается в компенсации потерь контура (см. гл. 8):

Если это условие выполняется, то с ростом амплитуды автоколебаний за счет нелинейности характеристики электронного прибора будет наблюдаться постепенное уменьшение скорости нарастания колебаний. В стационарном режиме энергия, рассеиваемая в контуре за период собственных колебаний, в точности равна энергии, которая поступает в контур от внешних источников за данный отрезок времени. Такой механизм самовозбуждения и автоматического регулирования стационарной амплитуды получил в радиотехнике название внутренней обратной связи.

Автогенераторы с распределенной колебательной системой.

Очень важной в практическом отношении разновидностью генератора с внутренней обратной связью является автоколебательное устройство, в котором использован отрезок линии передачи с распределенными параметрами. Типичным примером служит лазер — автогенератор гармонических колебаний в оптическом и инфракрасном диапазонах (рис. 14.14).

Лазер обычно состоит из двух плоскопараллельных полупрозрачных зеркал, образующих распределенную колебательную систему, так называемый резонатор Фабри — Перо. Пространство между зеркалами заполнено активной средой, например смесью газов Не и За счет внешней накачки в среде создается избыточная концентрация атомов, находящихся в возбужденном состоянии.

Рис. 14.14. Устройство лазера: 1 — полупрозрачное зеркало: 2 — активная среда; 3 — генерируемый пучок света

Эти атомы переходят в более низкое энергетическое состояние не спонтанно, а под воздействием электромагнитного поля в резонаторе. Поле в резонаторе, в свою очередь, есть результат суммирования индуцированных излучений огромного числа атомов. Подобный способ взаимодействия поля и активной среды приводит к высокой степени пространственно-временной когерентности излучения лазера.

Для того чтобы лазер самовозбудился, мощность, излучаемая в резонатор активной средой, должна скомпенсировать суммарную мощность потерь в системе.

Рассмотрим модельную задачу о гармонических волнах в активной линии передачи. Известно [34], что комплексные амплитуды напряжения и тока волны, распространяющейся в сторону возрастания координаты z, описываются функцией вида , где комплексный коэффициент распространения

(14.49)

зависит от погонных активных и реактивных параметров линии. Действие активной среды в рамках теории распределенных цепей принято учитывать тем, что погонная шунтирующая проводимость становится отрицательной:

Будем полагать, что параметры и лишь незначительно изменяют фазовую скорость волны, т. е. на рабочей частоте со справедливы неравенства Тогда, переписав формулу (14.49) в эквивалентном виде:

можно пренебречь третьим слагаемым подкоренного выражения, малым по сравнению с первыми двумя, и получить приближенное выражение

Коэффициент фазы в силу сделанных допущений оказывается таким же, как и в идеальной линии без потерь:

Однако коэффициент ослабления а существенно зависит от модуля отрицательной погонной проводимости

Очевидно, самовозбуждение системы наступит при некотором критическом значении таком, что откуда

(14.51)

где — волновое сопротивление линии.

Из последней формулы следует, в частности, что чем меньше волновое сопротивление, тем больше модуль отрицательной активной проводимости, необходимый для самовозбуждения распределенного автогенератора.