Результаты

- Сигналы с ограниченным спектром бесконечно протяженны во времени.

- Простейшие сигналы этого класса — идеальный низкочастотный и идеальный полосовой — наблюдаются на выходах соответствующих идеальных фильтров, возбуждаемых дельта-импульсами.

- Два идеальных низкочастотных сигнала становятся ортогональными при соответствующем выборе сдвига во времени.

- Ряд Котельникова представляет сабой частный случай обобщенного ряда Фурье. Базисными функциями здесь являются идеальные низкочастотные сигналы, сдвинутые во времени относительно друг друга на интервалы, кратные величине

- Коэффициентами ряда Котельникова служат отсчеты разлагаемого сигнала, взятые через равные промежутки времени.

- Если в спектре сигнала отсутствуют составляющие с частотами выше то ряд Котельникова дает точное (в среднеквадратическом смысле) представление сигнала.

- Ширина спектра узкополосного сигнала значительно меньше центральной частоты. Узкополосные сигналы являются квазигармоническими — их амплитуда и частота в общем случае медленно изменяются во времени.

- Понятие комплексной огибающей обобщает понятие комплексной амплитуды на случай узкополосных сигналов.

- Физическая огибающая равна модулю комплексной огибающей. Ее вид не зависит от выбора опорной частоты сигнала.

- Мгновенная частота узкополосного сигнала есть сумма опорной частоты и производной по времени от аргумента комплексной огибающей.

- Спектр узкополосного сигнала получается путем переноса спектра его комплексной огибающей на отрезок, численно равный значению опорной частоты.

- Каждому вещественному сигналу может быть сопоставлен комплексный аналитический сигнал, имеющий спектральные составляющие лишь в области положительных частот.

- Вещественная часть аналитического сигнала равна исходному сигналу. Мнимая часть его называется сопряженным сигналом.

- Связь между исходным и сопряженным сигналами устанавливается парой интегральных преобразований Гильберта.

- Огибающая произвольного сигнала равна модулю соответствующего аналитического сигнала. Мгновенная частота определяется как производная от аргумента аналитического сигнала.

Вопросы

1. Почему сигналы с ограниченным спектром являются подходящими математическими моделями для описания реальных колебаний в радиотехнических устройствах?

2. Каковы примерные осциллограммы идеального низкочастотного и идеального полосового сигналов?

3. Каковы основные свойства функций, образующих базис Котельникова?

4. Как формулируется теорема Котельникова?

5. Каков наглядный смысл размерности пространства сигналов, ограниченных по спектру и по длительности? Оцените типичную величину размерности.

6. Как выглядит характерная осциллограмма узкополосного сигнала?

7. В чем состоит способ аппаратурного нахождения синфазной и квадратурной амплитуд узкополосного сигнала?

8. Каковы свойства физической огибающей узкополосного сигнала?

9. Как связаны между собой спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов?

10. Как вычисляют преобразование Гильберта для узкополосного сигнала?

11. Почему метод аналитического сигнала обладает большей общностью по сравнению с методом комплексной огибающей?

Задачи

1. Идеальный низкочастотный сигнал имеет модуль спектральной плотности, равный в полосе частот от 0 до 25 кГц. Определите максимальное мгновенное значение такого сигнала.

2. Измерения показали, что идеальный полосовой сигнал характеризуется следующими параметрами: .

Найдите ширину полосы частот этого сигнала и модуль его спектральной плотности в пределах этой полосы.

3. Автоматическая метеостанция передает данные о состоянии атмосферы каждые два часа. Какова наивысшая частота в спектре передаваемого сообщения?

4. Сигнал с ограниченным спектром имеет график спектральной плотности треугольной формы:

Определите коэффициенты ряда Котельникова этого сигнала, полагая, что отсчеты взяты через интервалы времени

5. Сигнал с ограниченным спектром точно описывается двумя отличными от нуля отсчетами:

Чему равна верхняя частота в спектре этого сигнала? Найдите мгновенное значение сигнала в момент времени

6. Как изменится ошибка аппроксимации сигнала, рассмотренного в примере 5.3, если темп выдачи отсчетов увеличить в 10 раз?

7. Сигнал s(t) как при так и при представляет собой гармоническое колебание; в момент времени фаза сигнала изменяется скачком на 180°:

Напишите выражение комплексной огибающей этого сигнала.

8. Найдите комплексную огибающую импульса включения гармонической ЭДС:

Обратите внимание на величину начальной фазы сигнала.

9. Определите комплексную огибающую сигнала с однотональной угловой модуляцией:

10. Напишите выражение комплексной огибающей прямоугольного ЛЧМ-импульса (см. гл. 4).

11. Узкополосный сигнал в окрестности опорной частоты имеет спектральную плотность гауссова вида:

Определите спектр комплексной огибающей этого сигнала. Найдите закон изменения во времени физической огибающей. Вычислите мгновенную частоту, сравнив результат с тем, который получен в примере 5.5. Чем объясняется их принципиальное различие?

12. Найдите аналитические сигналы, соответствующее гармоническим колебаниям

13. Вычислите аналитический сигнал, соответствующий радиоимпульсу с прямоугольной огибающей.

14. Вычислите сигнал, сопряженный с гармоническим колебанием непосредственно, используя преобразование Гильберта вида (5.45).

15. Решите задачу, аналогичную предыдущей, применительно к сигналу .

16. Покажите, что синфазная и квадратурная амплитуды узкополосного сигнала связаны с компонентами аналитического сигнала следующим образом:

Более сложные задания

17. Докажите теорему Котельникова в частотном представлении, которая формулируется так: если сигнал тождественно равен нулю вне интервала времени то спектральная плотность однозначно задается последовательностью ее значений в точках на осн частот, отстоящих на Гц друг от друга.

18. Обобщите теорему Котельникова на случай полосовых сигналов, спектр которых при отличен от нуля лишь в области со Найдите аналитические выражения базисных функций таких сигналов,

19. Узкополосный сигнал представлен в виде Найдите условия, которым должны удовлетворять функции дня того, чтобы мгновенная частота сигнала оказалась постоянной во времени,

20. Найдите аналитический сигнал, соответствующий колебанию, у которого спектральная плотность помимо регулярной части имеет составляющую с дельта-особенностью.

21. Методами теории аналитического сигнала изучите огибающую и мгновенную частоты однотонального ОБП-сигнала (см. гл. 4).

22. Используя обобщенную формулу Рэлея, докажите, что сигнал с конечной энергией и сопряженный по Гильберту сигнал ортогональны.

23. Докажите, что сигналы имеют равные энергии и одинаковые автокорреляционные функции.