10.2. Источники флуктуационных шумов в радиотехнических устройствах

В данном параграфе мы познакомимся с физическими явлениями, которые порождают флуктуации напряжения и тока в радиотехнических цепях. Будут получены формулы, используемые для оценки интенсивности шумов.

Тепловые шумы резисторов. Одной из главных причин возникновения шума являются флуктуации объемной плотности электрического заряда в проводящих телах (резисторах) из-за хаотического теплового движения носителей заряда. Несмотря на электрическую нейтральность системы в целом, внутри объема резистора возникают переменные электромагнитные поля, а на внешних зажимах появляется шумовая разность потенциалов. Спектр шума оказывается чрезвычайно широким из-за высокой плотности «упаковки» зарядов и большой средней тепловой скорости. Это позволяет считать, что на частотах радиоднапазона тепловой шум резистора достаточно точио соответствует модели белого (дельта-коррелированного) шума.

Формула Найквиста.

Выведем соотношение для расчета спектра мощности, который описывает шумовое напряжение на зажимах резистора R, находящегося в тепловом равновесии с окружающей внешней средой при абсолютной температуре Т. Для этого мысленно включим параллельно резистору вспомогательный элемент — конденсатор С и будем считать, что реальный шумящий резистор эквивалентно заменен последовательным соединением идеального нешумящего резистора и источника ЭДС, создающего белый шум. Спектр мощности этого шума требуется определить.

Как известно из курса физики, любая система, находящаяся в тепловом равновесии, обладает средней энергией приходящейся на одну степень свободы Именно такой будет средняя энергия электрического поля, накопленная в конденсаторе, поскольку рассматриваемая цепь является динамической системой 1-го порядка с одной степенью свободы. Итак,

поэтому дисперсия шумового напряжения на конденсаторе

Теперь воспользуемся формулой (10.11), которая связывает дисперсию со спектром мощности шумового напряжения. Поскольку вспомогательная величина С исключается и получается равенство

Практически удобнее пользоваться односторонним энергетическим спектром, который задается только в области положительных частот и имеет размерность

(10.27)

Это замечательное соотношение, носящее название формулы Найквиста, было доказано в конце 20-х годов.

Подчеркнем, что величина имеет простой и ясный физический смысл удельной дисперсии теплового шума резистора, которая приходится на полосу частот шириной в 1 Гц.

Спектральную плотность мощности тепловых шумов можно оценить из следующего примера: при кОм значение составит откуда удельное эффективное напряжение шума равно Несмотря на кажущуюся малость, эффект тепловых шумов может явиться решающим фактором, ограничивающим реальную чувствительность приемных устройств.

Интересно и важно отметить, что мощность шума, которая может быть передана во внешнюю резистивную нагрузку, не зависит от сопротивления резистора R. Для доказательства рассмотрим систему, в которой между шумящим резистором R и нагрузкой включен идеальный фильтр с полосой пропускания 1 Гц. Как известно, мощность, передаваемая в нагрузку, максимальна при (условие согласования) и равна в нашем случае

(10.28)

Поэтому единственным радикальным средством борьбы с тепловыми шумами является глубокое охлаждение входных цепей чувствительных радиоприемных устройств, применяемых в радиолокации, радиоастрономии и системах космической связи.

Шумы приемных антенн.

Источником шума в радиотехническом устройстве может быть приемная антенна, на выходе которой возникает случайное напряжение под воздействием хаотических флуктуаций электромагнитного поля.

Пусть простейшая приемная антенна (вибратор Герца) длиной l ориентирована вдоль оси z и помещена внутри замкнутой полости, стенки которой имеют температуру Т.

В соответствии с законом Планка, известным читателю из курса физики, полость заполнена равновесным электромагнитным излучением, которое характеризуется особым спектральным параметром, носящим название удельной яркости

где - частота, Гц; с — скорость света, — постоянная Планка.

Удельная яркость представляет собой плотность потока электромагнитного излучения, отнесенного к частотному интервалу 1 Гц и приходящего в данную точку из телесного угла в

Если что типично для радиодиапазона, то (10.29) превращается в приближенную формулу Рэлея — Джинса:

(10.30)

где — длина волны.

Рассмотрим величину

— средний квадрат напряженности электрического поля Е, приходящийся на интервал частот 1 Гц. В теории электромагнетизма доказывается, что плотность потока мощности излучении составит при этом Здесь учтено, что из-за полного равноправия всех пространственных направлений Деля плотность потока мощности на т. е. на телесный угол всего пространства, получаем выражение удельной яркости через полевые величины:

(10.31)

Приравняв правые части выражений (10.30) и (10.31), находим удельный средний квадрат проекции составляющей вектора напряженности электрического поля, которая ориентирована вдоль антенны:

(10.32)

Поскольку на выходе антенны, малой по сравнению с длиной волны, возникает напряжение получаем удельную дисперсию выходного напряжения:

(10.33)

Если ввести так называемое сопротивление излучения (Ом) вибратора Герца то из (10.33) получим формулу Найквиста для элементарной приемной антенны:

Здесь температура Т является параметром равновесной среды, через которую распространяются электромагнитные волны. В сущности это справедливо лишь для шумов космического происхождения. Измерения показали, что наиболее «холодные» участки небесного свода имеют температуру порядка нескольких кельвинов.

В то же время температура в направлении радиогалактик и других космических источников шумового радиоизлучения может достигать 10000 К.

Если говорить о естественных помехах земного происхождения, то подавляющая часть мощности этого шума сосредоточена на частотах ниже 30 МГц. Для того чтобы оставить неизменным вид формулы (10.34), вводят шумовую температуру зависящую от частоты. Спектральный состав земных помех таков, что на частотах порядка 1 МГц температура при некоторых условиях может достигать .

Дробовой шум.

Еще одним источником шума в радиотехнических устройствах являются электронные приборы — диоды, транзисторы и лампы. В отличие от резисторов флуктуации возникают здесь не за счет хаотического теплового движения электронов, а вследствие статистической независимости их упорядоченного перемещения.

Рассмотрим, например, вакуумный днод, к которому подключен источник постоянной ЭДС. От катода к аноду движется поток электронов, каждый из которых переносит электрический заряд (по модулю). Время пролета электрона с катода на анод имеет порядок . В этот интервал времени во внешних цепях регистрируется короткий импульс так называемого конвекционного тока, причем

откуда следует оценка .

В обычных режимах ток днода составляет несколько миллиампер, поэтому импульсы конвекционного тока густо перекрываются во времени.

Акты вылета отдельных электронов с катода являются статистически независимыми случайными событиями. Отсюда следует, что мгновенное значение анодного тока днода не остается постоянным, а претерпевает некоторые флуктуации. Любой электронный прибор служит источником шума, который в физике и радиотехнике получил название дробового шума.

Распределение Пуассона.

Обозначим символом v среднее число электронов, прибывающих на анод за 1 с. Эксперимент убедительно говорит о том, что эта числовая характеристика является статистически устойчивой, т. е. стационарной. Постоянная составляющая анодного тока связана с параметром v простым соотношением Значение v весьма велико: при имеем оценку

Переходя к статистическому анализу процесса, сделаем одно упрощающее предположение, не существенное физически, облегчающее расчеты: допустим, что в промежутке катод — анод электроны следуют друг за другом «цепочкой», так что вероятность парных или более сложных приходов электронов на анод пренебрежимо мала.

Естественно, считать, что если А — событие прихода электрона на анод в интервале времени то с точностью до малых величин порядка вероятность этого события

(10.35)

Обозначим через вероятность не иметь ни одного пришедшего электрона в интервале времени (0, t). Тогда будет вероятностью сложного события — ни одного электрона не должно появиться на аноде ни в интервале времени (0, f), ни в интервале времени На основании свойства вероятности сложного события

Переходя к пределу при получаем дифференциальное уравнение

с очевидным начальным условием

Решение этой начальной задачи элементарно:

Найдем вероятность наблюдать в интервале времени (0, t) ровно один пришедший электрон. На расширенном интервале ) такая вероятность будет складываться из вероятностей двух несовместимых событий:

а) электрон прибывает в интервале времени ),

б) электрон прибывает в интервале времени . По свойству вероятностей

откуда следует дифференциальное уравнение

с начальным условием Аналогично получается начальная задача, решение которой описывает вероятность прибытия на анод ровно и электронов:

Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что

Формула (10.37) определяет закон распределения Пуассона, который встречается во многих задачах статистической радиотехники.

Моменты пуассоновской случайной величины.

Возьмем некоторый интервал времени длительностью Т и подсчитаем среднее число прибывших электронов:

Смысл этой формулы нагляден: подтверждается исходное предположение о том, что v — средняя интенсивность потока электронов.

Теперь найдем средний квадрат числа прибывших за это время электронов:

(10.39)

Используя формулы (10.38) и (10.39), вычисляем дисперсию числа прибывших электронов

(10.40)

Статистические свойства тока анода.

Если за время Т на анод поступило и электронов, то отнесенный к длительности интервала наблюдения,

Среднее значение наблюдаемого тока

же время дисперсия тока

Если за меру интенсивности флуктуаций тока взять отношение среднеквадратического отклонения к среднему значению, то

(10.43)

Вывод, следующий из формулы (10.43), таков: относительный уровень флуктуации тока днода снижается с увеличением времени наблюдения и ростом среднего значения тока.

Пример 10.5. Пусть ток и время наблюдения Т=1с.

Дисперсия тока за время наблюдения и ток диода можно оценить следующим образом: . Видно, что относительные флуктуации тока здесь очень невелики.

Если же существенно сократить как среднее значение так и время наблюдения, положив то так что оценка тока .

Видно, что относительные флуктуации тока существенно возрастают.

Рассмотренный пример дает возможность понять, почему мы не наблюдаем случайных колебаний стрелки магнитоэлектрического измерительного прибора, включенного в цепь диода. Здесь из-за инерционности механической системы прибора происходит усреднение измеряемого тока на интервале времени длительностью порядка секунды.

Формула Шотки.

Чем меньше время наблюдений Т, тем большую полосу частот в спектре процесса приходится учитывать. По теореме Котельникова, для проведения обработки сигнала за время Т регистрирующая система должна быть способна пропускать все частоты вплоть до частоты удовлетворяющей соотношению

Учтя это в формуле (10.42), имеем откуда удельная дисперсия флуктуационного тока приходящаяся на полосу частот в 1 Гц,

(10.44)

Это соотношение получило в радиотехнике название формулы Шотки. Согласно ей, эквивалентная шумовая схема электронного прибора содержит в себе источник тока, создающий белый шум со спектральной плотностью, описываемой формулой (10.44).

Эксперименты показывают, что дробовой шум электронных приборов имеет постоянный спектр мощности вплоть до частот в несколько сотен мегагерц, а затем начинает уменьшаться с ростом частоты. Это связано с тем, что на очень высоких частотах (при малых значениях Т) несправедливой становится принятая модель шума, согласно которой за время наблюдения на анод должно приходить достаточно большое число электронов. Кроме того, начинает сказываться уменьшение модуля спектральной плотности отдельных импульсов конвекционного тока, длительность которых хотя и мала, но все же конечна.

Пример 10.6. Транзисторный усилитель с резистивно-емкостной нагрузкой имеет следующие параметры: . Рабочая точка на характеристике транзистора выбрано таким образом, что постоянная составляющая тока коллектора . Вычислить эффективное шумовое напряжение на выходе, обусловленное дробовым шумом транзистора.

Прежде всего по формуле Шотки находим спектр мощности источника шумового тока:

Составив эквивалентную схему усилителя, замечаем, что роль частотного коэффициента передачи системы играет комплексное сопротивление, включенное параллельно источнику тока:

где

В данном случае .

Дисперсию шумового напряжения на выходе усилителя вычисляем по формуле (10.22):

Наконец, находим эффективное напряжение шума на выходе

Подобные расчеты приходится выполнять каждый раз, определяя предельную чувствительность усилителей малых сигналов. Для этого обычно поступают так: эффективное напряжение шума приводит ко входу по формуле где К — коэффициент усиления напряжения на частоте сигнала. Полученную величину принимают за минимальный уровень эффективного напряжения полезного гармонического сигнала, который может усиливаться данным устройством, откуда минимальная амплитуда .

Так, в рассмотренном примере при крутизне характеристики транзистора коэффициент усиления напряжения на нулевой частоте Поэтому минимальная амплитуда усиливаемого сигнала