13.2. Фильтры нижних частот

В данном параграфе будут рассмотрены некоторые физически реализуемые характеристики фильтров нижних частот (ФНЧ). Основное назначение таких устройств — с минимальным ослаблением передавать на выход колебания, частоты которых не превосходят заданной граничной частоты, называемой частотой среза фильтра . В то же время колебания с более высокими частотами должны существенно ослабляться.

Очевидно, для ФНЧ с частотой среза сос идеальная частотная зависимость коэффициента передачи мощности имеет вид

(13.12)

(имеются в виду физические частоты

Такая частотная характеристика заведомо нереализуема. Обращение в нуль функции а значит, и передаточной функции противоречит известному критерию Пэли — Винера (см. гл. 8).

Возникает задача подбора допустимой аппроксимирующей функции.

Максимально-плоская аппроксимация.

Один из возможных способов аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ построен на использовании коэффициента передачи мощности

где — — безразмерная нормированная частота.

ФНЧ, имеющий такие частотные свойства, называют фильтром с максимально-плоской характеристикой или фильтром Баттерворта. Целое число является порядком фильтра. Сравнение выражений (13.10) и (13.13) показывает, что при любом и такой фильтр реализуем.

Рис. 13.1. Частотные характеристики коэффициента передачи мощности для фильтров Баттерворта при

В полосе пропускания фильтра, т. е. при квадрат модуля коэффициента передачи плавно уменьшается с ростом частоты. На частоте среза (при ослабление, вносимое фильтром, составляет независимо от порядка системы. Чем больше и, тем точнее аппроксимируется идеальная форма частотной характеристики. На рис. 13.1 изображены графики, построенные по формуле (13.13) для максимально-плоских характеристик различных порядков.

Порядок фильтра обычно подбирают, исходя из требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами

Пример 13.1. Найти порядок фильтра Баттерворта с частотой среза который при обеспечивает ослабление сигнала не хуже чем по отношению к уровню при .

Условие задачи определяет порядок фильтра как целое число, ближайшее (с избытком) к корню уравнения

или

Решая его, находим

откуда .

Если частота сигнала значительно превышает частоту среза фильтра то формулы (13.13) получим

т. е. ослабление, выраженное в децибелах,

Отсюда следует, что при увеличении частоты вдвое ослабление, вносимое фильтром Баттерворта, возрастает на . Говорят, что для фильтра этого типа скорость роста ослабления вне полосы пропускания составляет

Передаточная функция фильтра с максимально-плоской частотной характеристикой.

Для того чтобы в дальнейшем синтезировать структуру цепи, необходимо от коэффициента передачи мощности, выбранного в форме (13.13), перейти к передаточной функции . С этой целью введем нормированную комплексную частоту и запишем формулу (13.13) так:

(13.14)

Отсюда видно, что на плоскости функция отвечающая ФНЧ с характеристикой Баттерворта порядка, имеет полюсов, которые являются корнями уравнения

(13.15)

Все эти корни лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат.

Рис. 13.2. Полюсы коэффициента передачи мощности ФНЧ с характеристикой Баттерворта при

При полюсы коэффициента передачи мощности находят из уравнения т. е.

(13.16)

Если то уравнение имеет четыре корня:

(13.17)

Наконец, для фильтра 3-го порядка необходимо решить уравнение у которого имеется шесть корней:

(13.18)

Расположение корней на комплексной плоскости для приведенных случаев показано на рис. 13.2.

Общая закономерность при любом такова: все полюсы расположены на одинаковом угловом расстоянии друг от друга, равном если — нечетное число, то первый корень если же четно, то

Теперь воспользуемся тем, что полюсы коэффициента передачи мощности имеют квадрантную симметрию, т. е. их число и конфигурация расположения в обеих полуплоскостях одинаковы. Это позволяет считать, что только полюсы, расположенные в левой полуплоскости, отвечают синтезируемому фильтру.

Их «зеркальные копии» в правой полуплоскости соотносятся с функцией и не принимаются во внимание. Описанный здесь принцип является главным в процедуре синтеза фильтров, поскольку именно на в дальнейшем основана реализация цепи.

Пример 13.2. Определить передаточную функции ФНЧ с характеристикой Баттерворта 2-го порядка.

Передаточная функция определяется двумя полюсами, лежащими в левой полуплоскости [см. (13.17)]:

Тогда

Таким образом, для реализвции ФНЧ при требуется динамическая система 2-го порядка (колебательное звено).

Чебышевская аппроксимация.

Широкое применение находит также другой способ аппроксимации частотной характеристики идеального ФНЧ, получивший название чебышевской аппроксимации. Коэффициент передачи мощности ФНЧ такого вида задается формулой

(13.19)

где — постоянное число, называемое коэффициентом неравномерности характеристики в полосе пропускания; — многочлен Чебышева порядка, определяемый выражением

(13.20)

Функция при любом может быть найдена из рекуррентного соотношения

(13.21)

причем и

Эти многочлены часто используются во всевозможных задачах аппроксимации благодаря следующему свойству: среди всех многочленов степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента они менее всего отклоняются от нуля на интервале — . В то же время при абсолютные значения многочленов Чебышева весьма велики. Асимптотически при

(13.22)

С помощью таких функций можно удачио аппроксимировать идеальную характеристику ФНЧ: из формулы (13.19) видно, что в пределах полосы пропускания величина КР колеблется от 1 до если же то фильтр обеспечивает большое ослабление сигнала.

Рис. 13.3. Частотные характеристики ФНЧ чебышевского типа

На рис. 13.3 приведены типичные графики частотных характеристик передачи мощности для двух чебышевскнх фильтров при

Из графиков видно, что в полосе пропускания частотные характеристики чебышевских фильтров немонотонны. Величина пульсации ослабления тем выше, чем больше . Как следует из формулы (13.19), увеличение ведет к большему ослаблению сигналов вне полосы пропускания. Подбором двух параметров можно добиться выполнения исходных условий, предъявляемых к синтезируемому фильтру.

Пример 13.3. Фильтр с чебышевской характеристикой порядка на частоте среза обеспечивает ослабление мощности в два раза. т. е. такое же, как и фильтр с максимально-плоской характеристикой. Определить величину ослабления, вносимого этим фильтром на частоте, в три раза превышающей частоту среза.

Прежде всего найдем параметр . Как следует из выражения (13.20), при любом , поэтому в случае, если

Многочлен Чебышевв 3-го порядка

откуда ослабление, вносимое чебышевским фильтром с единичным коэффициентом неравномерности на частоте составит

Отметим, что в аналогичных условиях фильтр Баттерворта 3-го порядка обеспечивает ослабление

Таким образом, применение фильтра с чебышевской характеристикой позволяет существенно лучше подавлять сигналы, частоты которых лежат вне полосы пропускания.

Передаточная функция чебышевского ФНЧ.

Как видно из (13.19), полюсы коэффициента передачи мощности чебышевского фильтра являются корнями уравнения

[ср. с формулой (13.15)].

Метод его решения довольно громоздок и с ним читатель может ознакомиться в [35]. Практические расчеты выполняют так. Прежде всего вычисляют параметр

Затем находят полюсы передаточной функции фильтра Баттерворта того же порядка и с той же частотой среза. Чтобы перейти к полюсам передаточной функции чебышевского фильтра, абсциссу каждого полюса фильтра Баттерворта умножают на , а ординату — на .

В то время как полюсы фильтра Баттерворта располагаются на единичной окружности, полюсы фильтра с чебышевской характеристикой лежат на эллипсе, уравнение которого в плоскости имеет вид

Получив координаты полюсов, можно записать выражение передаточной функции чебышевского ФНЧ:

Пример 13.4. Найти передаточную функцию чебышевского ФНЧ 2-го порядка с параметром

Здесь

Соответствующий фильтр Баттервортв имеет передаточную функцию с двумя полюсами:

Абсциссы полюсов передаточной функции чебышевского фильтра будут равны ординаты полюсов составят .

Из этого примера видно, что переход от максимально-плоской к чебышевской характеристике осуществляется путем приближения полюсов к мнимой оси; перемещение их по вертикали незначительно. С физической точки зрения это означает, что колебательная система, образующая чебышевский фильтр, должна обладать меньшим затуханием.