Глава 11. Преобразования сигналов в нелинейных радиотехнических цепях

Все радиотехнические цепи, рассмотренные нами ранее, относились к классу стационарных линейных систем. Замечательной особенностью линейной цепи является справедливость для нее принципа суперпозиции. Из этого принципа и из условия стационарности вытекает простое и важное следствие — гармонический сигнал, проходя через линейную стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу.

Однако именно поэтому линейная стационарная система неспособна обогатить спектральный состав колебаний, поданных на ее вход. Это обстоятельство в значительной степени сужает класс полезных преобразований сигналов, которое осуществляются линейными цепями с постоянными параметрами.

Гораздо большими возможностями в этом отношении обладают нелинейные системы, в которых связь между входным сигналом и выходной реакцией устанавливается нелинейной функциональной зависимостью

В настоящей главе будут рассмотрены общие закономерности, присущие простейшим нелинейным системам, приемы их математического исследования, а также некоторые вида преобразований сигналов, осуществляемых с помощью нелинейных цепей и устройств.

11.1. Безынерционные нелинейные преобразования

Исследование нелинейной цепи в общем случае — задача весьма сложная в том отношении, что при математическом описании функционирования такой системы мы сталкиваемся с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. Известно, что здесь неприменимы большинство приемов и методов, которые позволяют относительно легко решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Тем не менее в ряде случаев исследование нелинейных систем удается довести до конца простыми способами. Для этого достаточно потребовать, чтобы нелинейная зависимость вида (11-1) не содержала явно времени. Физически такое требование означает безынерционностъ нелинейного элемента, т. е. мгновенное установление выходной реакции вслед за изменением внешнего входного воздействия.

Безынерционных нелинейных элементов, строго говори, не существует. Однако эта идеализация достаточно точнн, если характерное время изменения входного сигнала значительно превышает время установления процесса внутри самого нелинейного элемента.

В радиотехнике нелинейные элементы — это чаще всего полупроводниковые приборы — диоды, биполярные и полевые транзисторы. Современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным свойствам. Поэтому предположение о безынерционном характере внутренних процессов в нелинейных радиотехнических элементах часто бывает оправданным.

Внешние характеристики безынерционных нелинейных элементов.

Функциональную зависимость вида (11.1) можно рассматривать как простейшую математическую модель нелинейного элемента. Особенность ее состоит в том, что здесь не фигурируют процессы, происходящие внутри элемента. Принято говорить, что здесь имеют дело с внешней характеристикой системы.

Рис. 11.1. Типичные вольт-амперные характеристики нелинейных даухполюсников: а — однозначная характеристика полупроводникового диода; б — характеристика туннельного диода, отличающаяся тем, что одному и тому же значению тока могут соответствовать три различных значения напряжения

Ниже для конкретности будут рассматриваться внешние характеристики нелинейных Двухполюсников, когда входным сигналом служит напряжение и, а выходным — ток i в двухполюснике. Зависимость обычно принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ) нелинейного элемента. Все методы и результаты можно перенести и на случай нелинейного четырехполюсника, например транзистора, работающего в нелинейном режиме при больших амплитудах входного сигнала. Здесь выходная цепь представляется источником тока, управляемым входным напряжением; связь между мгновенными значениями напряжения и тока оказывается существенно нелинейной.

Используемые на практике нелинейные элементы имеют разнообразные внешние характеристики. Так, можно выделить класс элементов с однозначными вольт-амперными характеристиками (рис. 11.1, а) и класс элементов, характеристики которых содержат участки многозначности (рис. 11.1, б).

Сопротивление нелинейного двухполюсника.

Понятие сопротивления для нелинейного двухполюсника можно определить по-разному. Пусть — вольт-амперная характеристика. Приложив к двухполюснику постоянное напряжение имеем в цепи ток Отношение

называют сопротивлением элемента постоянному току. В отличие от обычного сопротивления линейного резистора значение величины R не постоянно, а зависит от приложенного напряжения.

Часто приходится иметь дело с одновременным воздействием на нелинейный элемент двух источников напряжения: причем Разложив вольт-амперную характеристику в ряд Тейлора в окрестности точки находим ток Отношение приращения напряжения к приращению тока в выбранной рабочей точке ) называют дифференциальным сопротивлением нелинейного двухполюсника:

Иногда удобнее пользоваться дифференциальной крутизной ВАХ

которая является тангенсом угла наклона касательной вольт-амперной характеристики в данной рабочей точке.

Подчеркнем, что, вводя понятие дифференциального сопротивления или дифференциальной крутизны, мы, по сути дела, линеаризуем реальную ВАХ, что справедливо лишь для малых приращений сигнала относительно рабочей точки.

Способы описания характеристик нелинейных элементов.

Как правило, вольт-амперные характеристики нелинейных элементов получают экспериментально; гораздо реже удается найти их из теоретического анализа. Для изучения процессов в радиотехнических цепях, содержащих такие элементы, необходимо прежде всего отобразить вольт-амперные характеристики в математической форме, пригодной для расчетов.

Простым и весьма точным способом может явиться представление характеристики в виде таблицы. Этот способ особенно удобен для анализа процессов в цепях с помощью ЭВМ; аргумент и функция образуют в запоминающем устройстве двумерный массив чисел.

Если исследование должно проводиться не численными, а аналитическими методами, то требуется подобрать такую аппроксимирующую функцию, которая, будучи довольно Простой, отражала бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики с достаточной степенью точности.

В радиотехнике чаще всего используют следующие способы аппроксимации вольт-амперных характеристик нелинейных двухполюсников.

Кусочно-линейная аппроксимация.

Данный способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. В качестве примера на рис. 11.2 показана входная характеристика реального транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых.

Аппроксимация определяется двумя параметрами — напряжением начала характеристики и крутизной S, имеющей размерность проводимости. Математическая форма аппроксимированной ВАХ такова:

Рис. 11.2. Входная характеристика транзистора — зависимость тока базы от напряжения промежутка база — эмиттер

Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов имеет порядок 0.2-0.8; крутизна характеристики тока базы как правило, около Если же говорить о крутизне характеристики тока коллектора в зависимости от напряжения база — эмиттер, то последняя цифра должна быть умножена на — коэффициент усиления тока базы. Поскольку , указанная крутизна имеет порядок нескольких ампер на вольт (сименсов).

Степенная аппроксимация.

Этот способ основан на разложении нелинейной вольт-амперной характеристики в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки

Здесь коэффициенты — некоторые числа. Количество членов разложения зависит от заданной точности расчетов.

Способ нахождения коэффициентов степеной аппроксимации иллюстрируется следующим простым примером.

Пример 11.1. Экспериментально снятая входная характеристика транзистора задана графиком (рис. 11.3). Найти коэффициенты определяющие аппроксимацию вида в окрестности рабочей точки .

Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0.5, 0.7 и 05 В.

Как видно из построения, для нахождения неизвестных коэффициентов следует решить систему уравнений:

откуда

Рис. 11.3. Степенная аппроксимация входной характеристики транзистора

Подчеркнем, что степенная аппроксимация есть способ преимущественно локального описания характеристик; пользоваться ей при значительных отклонениях мгновенных значений входного сигнала от рабочей точки нецелесообразно из-за существенного ухудшения точности.

Показательная аппроксимация.

Из теории работы -переходов следует, что вольт-амперная характеристика полупроводникового диода в области описывается выражением

Здесь — обратный ток насыщения, — температурный потенциал, равный 25 мВ для кремниевых приборов при стандартной температуре 300 К.

Показательную зависимость вида (11.7) часто используют при изучении нелинейных явлений в радиотехнических цепях, содержащих полупроводниковые устройства. Аппроксимация вполне точна при значениях тока, не превышающих нескольких миллиампер. При больших токах экспоненциальная характеристика плавно переходит в прямую линию из-за влияния объемного сопротивления полупроводникового материала.