Глава 10. Воздействие случайных сигналов на линейные стационарные цепи

В гл. 8, 9 излагались методы, позволяющие решать задачи о прохождении детерминированных сигналов через линейные стационарные системы. Последним шагом, завершающим теорию линейных систем, является перенесение этих методов в статистическую область.

Предположим, что на входе линейной стационарной системы присутствует колебание x(t), представляющее собой некоторую реализацию случайного процесса . Если эта реализация указана заранее, то никакой новой задачи не возникает — к сигналу следует относиться как к детерминированной, хотя, возможно, очень сложно описываемой функции. Зная математическую модель системы, которая определяется, например, частотным коэффициентом передачи можно в принципе всегда найти выходную реакцию y(t).

Однако специфика статистической теории состоит в том, что столь полные сведения о входном сигнале недоступны — вместо детерминированного описания входного сигнала мы располагаем лишь сведениями об усредненных вероятностных характеристиках случайного процесса . Такими характеристиками могут явиться одномерная и многомерные плотности вероятности, а также различные моментные функции, прежде всего математическое ожидание и функция корреляции. Наша цель — исследовать ту связь между статистическими характеристиками процессов , которая может быть найдена на основе математической модели системы.

10.1. Спектральный метод анализа воздействия случайных сигналов на линейные стационарные цепи

С самого начала введем ограничение — будем рассматривать лишь входные случайные процессы , стационарные в широком смысле. Как известно, это означает, что математическое ожидание x(t) мгновенных значений реализаций постояняво времени, в то время как функция корреляции зависит лишь от величины — абсолютного сдвига между точками на оси времени, в которых производится измерение мгновенных значений.

В дальнейшем всюду будем полагать Это предположение не ограничивает общности рассуждений и выводов. Благодаря свойству линейности рассматриваемых цепей задача о влиянии постоянной составляющей входного сигнала на выходной отклик системы может быть решена независимо и, что важно, без привлечения статистических методов.

Среднее значение выходного сигнала.

Рассмотрим отдельно взятую реализацию входного сигнала x(t) и представим ее в виде интеграла Фурье:

Выходной сигнал системы будет найден, если известен ее частотный коэффициент передачи

Переходя от отдельной реализации к статистическому ансамблю входных сигналов, следует считать, что неслучайная функция, причем (см. гл. 7) предположение о стационарности процесса накладывает условие: среднее значение спектральной плотности Поэтому, выполняя статистическое усреднение в обеих частях выражения (10.1), имеем

Функция корреляции и спектральная плотность мощности случайного сигнала на выходе системы.

Чтобы вычислить функцию корреляции необходимо, помимо спектрального разложения (10.1), располагать значением выходного сигнала в момент времени . Это значение можно получить на основании известных свойств преобразования Фурье:

Небольшая (и не принципиальная) деталь, относящаяся к технике вычислений: функция вещественна, поэтому формула (10.3) не изменится, если в ее правой части перейти к комплексно-сопряженным величинам:

Функцию корреляции выходного сигнала найдем, перемножая сигналы, определенные равенствами (10.1) и (10.4), а затем проводя статистическое усреднение:

(10.5)

На первый взгляд, анализ этой формулы может показаться безнадежно сложным. Но следует иметь в виду, что рассматриваемый входной случайный процесс стационарен, поэтому (см. гл. 7) случайные спектральные плотности его отдельных реализаций дельта-коррелированы, т. е.

где — спектр мощности стационарного случайного процесса

Эта особенность спектра входного сигнала позволяет выяснить очень простой смысл формулы (10.5):

или, в равной мере,

Формула (10.7), по сути дела, содержит полное решение поставленной задачи в рамках корреляционной теории: спектр мощности выходного случайного сигнала связан с аналогичным спектром сигнала на входе соотношением

В прикладных задачах часто приходится цметь дело с односторонними спектрами которые определены только при положительных частотах измеряемых в герцах. Очевидно, что

поэтому дисперсия выходного сигнала

(10.10)

является результатом суммирования вкладов от спектра мощности входного сигнала, умноженного на зависящий от частоты квадрат модуля коэффициента передачи, т. е. частотный коэффициент передачи мощности.

Технику решения конкретных задач из рассматриваемого здесь круга хорошо известна — это всевозможные приемы вычисления интегралов Фурье.

Поэтому в нижеследующих примерах внимание будет сосредоточено не столько на математической стороне дела, сколько на обсуждении физических особенностей процессов.

Пример 10.1. Динамическая система 1-го порядка, принципиальная схема которой изображается в виде интегрирующей -цепи, возбуждена со стороны входа источником шумовой ЭДС с постоянной на всех частотах спектральной плотности мощности Определить дисперсию и функцию корреляции выходного напряжения y(t).

Вычислим коэффициент передачи мощности для данной цепи:

Далее по формуле (10.7), положив , определим дисперсию шума на выходе:

Функция корреляции выходного сигнала

Здесь

Последний интеграл является табличным [15], поэтому, воспользовавшись готовым результатом, получаем

(10.13)

Итак, возбуждая интегрирующую RС-цепь белым шумом, получаем на выходе случайный процесс с функцией корреляции экспоненциального типа.

Существенно, что RС-цепь, обладая инерционностью, выполняет известное «упорядочение»: если входной сигнал, будучи белым шумом, абсолютно непрогнозируем, то выходной сигнал оказывается сглаженным; его интервал корреляции имеет порядок постоянной времени цепи.

Пример 10.2. Воздействие белого шума на одноконтурный резонансный усилитель.

Предположим, что источник ЭДС вида белого шума с односторонним спектром мощности возбуждает вход резонансного усилителя малых колебаний. Частотный коэффициент передачи данной системы

коэффициент передачи мощности

Расчет дисперсии проводится по формуле (10.10):

Введем переменную — и положим колебательный контур усилителя столь добротным, что коэффициент передачи при можно считать нулевым. Тогда

Наконец, функция корреляции выходного сигнала

(10.15)

Видно, что полученная здесь функция корреляции имет вид

характерный для узкополосного случайного процесса, поскольку огибающая является медленной функцией по сравнению с высокочастотным заполнением.

Любая реализация случайного сигнала на выходе узкополосного усилителя представляет собой квазигармоническое колебание со случайными огибающей и мгновенной частотой; в среднем частота заполнения равна резонансной частоте колебательной системы. Такое свойство выходного сигнала легко объяснить, заметив, что этот сигнал является результатом суммирования огромного числа элементарных откликов, каждый из которых пропорционален импульсной характеристике системы (принцип интеграла Дюамеля).

Для того чтобы получить представление о порядке величин, с которыми имеет дело статистическая радиотехника, оценим дисперсию шума на выходе резонансного усилителя при следующих исходных данных: . Постоянная времени контура поэтому на основании формулы (10.14) дисперсия эффективное напряжение шума, равное квадратному корню из дисперсии, составит 194 мкВ.

Пример 10.3. Цепь образована двумя RC-звеньями между которыми включен идеальный усилитель с коэффициентом усиления :

На входе цепи включен источник ЭДС вида белого шума с известной спектральной плотностью мощности Вычислить функцию корреляции выходного напряжения.

Коэффициент передачи мощности

В соответствии с (10.7) функция корреляции выходного напряжения

Целесообразно воспользоваться теорией вычетов, повторив этот же путь, который был проделан в гл. 8 при анализе импульсной характеристики RС-цепи. Подынтегральная функция в (10.17) имеет четыре простых полюса с координатами

Будем вычислять функцию при замыкая контур интегрирования в верхней полуплоскости. Вычет подынтегральной функции в точке

Аналогично находят вычет в точке лежащей внутри контура интегрирования:

Отсюда, применив теорему Коши, без труда находим, что при

(10.18)

Функция корреляции при получится из этой же формулы при замене на . Это вытекает из свойства четности функции корреляции, однако результат может быть подтвержден прямым расчетом.

Итак,

(10.19)

Дисперсия выходного сигнала

Рис. 10.1. Нормированная функция корреляции случайного процесса на выходе системы из двух RС-цепей: 1 — при ; 2 — при

поэтому нормированная функция корреляции выходного случайного процесса

(10.21)

На рис. 10.1 изображены результаты расчетов по формуле (10.21) при двух различных значениях отношения

На этом же рисунке для сравнения представлена кривая, отображающая функцию на выходе одиночной интегрирующей RС-цепи с постоянной времени Интересно отметить не только рост интервала корреляции, вызванный добавлением второго инерционного звена, но также изменение характера функции двухзвенного фильтра в окрестности точки Существование второй производной функции корреляции в этой точке обеспечивает днфференцируемость выходного случайного процесса (см. гл. 7), Физически днфференцируемость означает гладкость реализаций сигнала, прошедшего две каскадно включенные RС-цепи.

Прохождение случайных сигналов с широким спектром через узкополосные цепи. Шумовая полоса.

Часто приходится рассматривать воздействие на линейные частотно-избирательные цепи широкополосных случайных сигналов, образованных, например, хаотической последовательностью коротких импульсов. В этом случае если эффективная ширина спектра входного случайного процесса значительно превышает ширину полосы пропускания системы, то реальный случайный процесс можно заменить эквивалентным ему белым шумом с односторонним спектром мощности где — некоторая точка в пределах полосы пропускания цепи.

Формула (10.10), определяющая дисперсию выходного сигнала, в этом случае упростится;

(10.22)

В инженерных расчетах линейную частотно-избирательную цепь, находящуюся под воздействием широкополосного случайного сигнала, удобно характеризовать шумовой полосой пропускания . Она определяется как полоса пропускания идеального полосового фильтра с вещественным коэффициентом передачи равным максимуму модуля коэффициента передачи реальной цепи; при возбуждении идеальной и реальной систем белым шумом со спектром мощности дисперсии шумовых сигналов на выходах обеих цепей должны совпадать:

Отсюда

(10.24)

Например, для интегрирующей -цепи

поэтому шумовая полоса пропускания

Заметим, что для данной системы модуль частотного коэффициента передачи падает в раз по отношению к максимальному значению при на частоте Поэтому шумовая полоса пропускания оказывается шире полосы

Аналогично находим шумовую полосу пропускания одноконтурного резонансного усилителя:

Продемонстрируем использование понятия шумовой полосы пропускания в радиотехнических расчетах.

Пример 10.4. На входе одноконтурного резонансного усилителя малых колебаний с параметрами — действует источник стационарной шумовой ЭДС x(t), имеющий функцию корреляции Определить эффективное напряжение шума на выходе усилителя, если

Прежде всего по теореме Винера — Хинчина находим спектр мощности входного случайного сигнала

Подобный спектр уже был вычислен нами в гл. 7. Воспользуемся полученным там результатом и запишем для данного случая

Односторонний спектр мощности

Замечая, что спектр мощности максимален на нулевой частоте, а при его значение уменьшается лишь вдвое, приходим к выводу, что в пределах полосы пропускания усилителя входной сигнал можно заменить эквивалентным белым шумом со спектральной плотностью мощности Полоса пропускания усилителя по уровню 0.707

Шумовая полоса пропускания

Подставив полученные значения в формулу (10.23), находим, что

Эффективное напряжение шума на выходе .

Нормализация случайного сигнала на выходе линейной стационарной цепи.

Все задачи, которые были рассмотрены ранее, решались в рамках корреляционной теории, т. е. с привлечением моментных функций не выше второго порядка. Более полная постановка проблемы выглядит так: входной случайный процесс задается семейством своих -мерных плотностей вероятности Требуется, зная частотный коэффициент передачи определить аналогичные плотности вероятности процесса на выходе линейной системы.

Решить такую задачу в общем случае весьма сложно, и она в этой книге не рассматривается. Однако часто можно заранее предполагать гауссов характер законов распределения выходного сигнала независимо от того, каков вид плотностей вероятности случайного процесса на входе.

Нормализация выходного сигнала наблюдается в любой стационарной линейной системе с достаточно сильно выраженной инерционностью. Дело в том, что на основании формулы Дюамелн мгновенное значение отклика

есть результат суммирования предшествующих значений входного сигнала умноженных на сдвинутую импульсную характеристику цепи.

Если протяженность функции h(t) составляет несколько интервалов корреляции входного случайного процесса, то становится применимой центральная предельная теорема (см. гл. 7). Следствием этого является асимптотическая нормальность выходного сигнала.

Любую «-мерную плотность вероятности гауссова случайного процесса можно построить, зная лишь функцию корреляции.

Поэтому методы корреляционной теории оказываются вполне пригодными для решения многих задач, связанных с прохождением случайных сигналов через линейные стационарные цепи.