§ 7.3. Узкополосные случайные процессы

В радиотехнических приложениях исключительную роль играет особый класс случайных процессов, спектральная плотность мощности которых имеет резко выраженный максимум вблизи некоторой частоты отличной от нуля. Ниже исследуются статистические свойства подобных узкополосных случайных процессов. Рассмотрение ограничено случаем гауссовых процессов, часто встречающихся на практике. К тому же именно для гауссовых процессов удается получить ряд важных результатов, не выходя за рамки корреляционной теории.

Функция корреляции узкополосного случайного процесса.

Рассмотрим стационарный случайный процесс односторонний спектр мощности которого концентрируется в окрестности некоторой частоты

По теореме Винера — Хинчина функция корреляции данного процесса

Мысленно сместим спектр процесса из окрестности частоты в окрестность нулевой частоты, выполнив замену переменной . Тогда формула (7.36) приобретает вид

В соответствии с исходным предположением об узкополосносги процесса его спектр мощности исчезающе мал на частотах, близких к нулю.

Поэтому в выражении (7.37) можно заменить нижний предел интегрирования на не внося ощутимой погрешности, и записать функцию корреляции в виде

где

— медленно меняющиеся функции аргумента т.

Особенно простой функция корреляции узкополосного случайного процесса получается в случае, когда спектр мощности симметричен относительно центральной частоты При этом так что

Здесь коэффициент играет роль огибающей, которая изменяется медленно но сравнению с множителем Часто бывает удобным ввести нормированную огибающую функции корреляции узкополосного случайного процесса, определив ее с помощью равенства .

Тогда

Огибающая и начальная фаза.

Характерный вид функции корреляции (7.40) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармоиические колебания:

у которых как огибающая так и начальная фаза являются случайными функциями, медленно (в масштабе ) изменяющимися во времени.

Представим реализацию (7.41) как сумму синфазной и квадратурной составляющих (см. гл. 5):

Обе амплитуды и являются низкочастотными сигналами, тем более медленными, чем меньше эффективная ширина спектра по сравнению с центральной частотой

Введем в рассмотрение случайный процесс сопряженный с исходным процессом . Его реализацией является преобразование Гильберта:

Предположение о медленности синфазной и квадратурной амплитуд позволяет весьма просто записать выражение для реализации сопряженного процесса, вынеся медленные множители за знак преобразования Гильберта:

Отсюда получаем формулы для мгновенных значений реализации сгибающей

и начальной фазы

Статистические свойства сопряженного процесса.

Для дальнейшего анализа свойств огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса необходимо изучить связь между статистическими характеристиками процессов .

Прежде всего отметим, что если , то у также равно нулю. Далее, поскольку процесс гауссов, а преобразование Гильберта есть линейное интегральное преобразование, то гауссовым будет и сопряженный процесс Y(t).

Как известно, если — спектральная плотность конкретной реализации то спектр сопряженной реализации

Модули спектральных плотностей совпадают, поэтому спектры мощности процессов одинаковы: . Отсюда следует вьшод о тождественности функций корреляции:

и о стационарности процесса

Вычислим, наконец, функцию взаимной корреляции:

которая оказывается равной преобразованию Гильберта от функции корреляции процесса . Аналогично можно доказать (вывод представляется читателю в качестве упражнения), что

Итак,

Интересно заметить, что функция нечетна и обращается в нуль при Поэтому процессы в совпадающие моменты времени статистически независимы. Формуле (7.46) можно придать удобный вид, выполнив замену переменной . Тогда

где функции определяются в соответствии с формулой (7.38).

Корреляционные свойства синфазной и квадратурной амплитуд.

Наша конечная цель — найти и изучить статистические характеристики огибающей и начальной фазы Для этого удобно перейти от реализаций к медленно меняющимся во времени реализациям , которые на основании (7.42) и (7.43) выражаются следующим образом:

Возьмем первую формулу из системы (7.48) и вычислим функцию корреляции процесса . Выполнив элементарные тригонометрические преобразования, находим

Подставив сюда выражения функций из (7.38) и (7.47), приходим к очень простому результату:

Аналогично доказывается, что

и

Положив в (7.50) и (7.51) , имеем

Таким образом, дисперсии синфазной и квадратурной амплитуд оказываются равными дисперсии исходного узкополосного процесса.

Совместная плотность вероятности огибающей и начальной фазы.

Достоинства метода, основанного на переходе от узкополосного случайного процесса к его синфазной и квадратурной составляющим, становятся очевидными, когда требуется вычислить двумерную плотность вероятности . Эта характеристика, в свою очередь, дает возможность найти одномерную плотность вероятности огибающей

и плотность вероятности начальной фазы

Мгновенные значения амплитуд и образуют двумерный гауссов вектор, обе составляющие которого независимы и имеют одинаковые дисперсии . Поэтому двумерная плотность вероятности

Теперь, чтобы получить искомую плотность вероятности , следует выполнить функциональное преобразование, переводящее случайный вектор в новую случайную совокупность

Якобиан такого преобразования [см. формулу (6.24)]

Поскольку в новых переменных искомая двумерная плотность вероятности

Одномерная плотность вероятности начальной фазы.

Воспользовавшись формулами (7.55) и (7.59), найдем плотность вероятности начальной фазы:

Замена переменной приводит к следующему результату:

Таким образом, начальная фаза узкополосного случайного процесса распределена равномерно на отрезке

Одномерная плотность вероятности огибающей.

Поскольку функция не зависит от угла на основании выражений (7.54) и (7.59) плотность вероятности огибающей

Здесь также целесообразно перейти к безразмерной переменной относительно которой

Плотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выражением (7.61) или (7.62), известна под названием закона Рэлея. Соответствующий график (рис. 7.1) наглядно показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядкаст значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень узкополосного процесса.

Рис. 7.1. График плотности вероятности случайной величины, распределенной по закону Рэлея (по оси абсцисс отложен безразмерный аргумент )

Проводя усреднение с помощью плотности вероятности (7.61), находим среднее значение огибающей

и ее дисперсию

Располагая одномерной плотностью вероятности огибающей, можно решить ряд задач теории узкополосных случайных процессов, в частности, найти вероятность превышения огибаюшей некоторого заданного уровня.

Пример 7.5. Узкополосный нормальный процесс имеет постоянное значение спектра мощности в пределах полосы частот от до Найти вероятность того, что огибающая этого процесса превосходит уровень .

По условию задачи, эффективная ширина спектра процесса Поэтому дисперсия Согласно определению понятия плотности вероятности, искомая величина

Случайные величины, распределенные по закону Рэлея, встречаются во многих физических и радиотехнических задачах. Изящный вывод формулы (7.61), полученный Рэлеем из совсем иных предпосылок, читатель может найти в классической книге [25].

Двумерная плотность вероятности огибающей.

Для того чтобы исследовать динамику изменения огибающей во времени, необходимо располагать более подробной информацией по сравнению с той, которая может быть почерпнута из закона Рэлея. Так, для вычисления функции корреляции огибающей требуется знать двумерную плотность вероятности

Воспользуемся тем, что синфазные и квадратурные амплитуды узкополосного нормального случайного процесса являются низкочастотными гауссовыми процессами с одинаковыми функциями корреляции

и двумерными плотностями вероятности [см. формулу (6.28)]:

Если спектральная плотность мощности процесса симметрична относительно центральной частоты , то процессы статистически независимы, так что совместная четырехмерная плотность вероятности

Перейдем от синфазной и квадратурной амплитуд к огибающей и начальной фазе, вычисленным в различные моменты времени:

Якобиан данного преобразования

Используя этот результат, запишем плотность вероятности (7.65) в новых переменных:

Теперь, чтобы получить искомую двумерную плотность вероятности огибающей, следует дважды проинтегрировать правую часть формы (7.68) по угловым координатам:

Применяя известную в математике формулу

где — модифицированная функция Бесселя нулевого индекса, из (7.68) и (7.69) получаем окончательно:

Плотность вероятности, определяемую формулой (7.70), иногдв называют двумерным законом Рэлея. Отметим, что если сдвиг значительно превышает интервал корреляции тк, свойственный функции , то . Отсюда, поскольку получаем

(7.71)

т. е. функция приближенно равна произведению двух одномерных рзлеевских плотностей.

Функция корреляции огибающей.

По определению, функция корреляции огибающей

Квадрат среднего значения огибающей находим на основании равенства (7.63): . Теперь необходимо вычислить среднее значение произведения

Нахождение интеграла (7.73) сопряжено с весьма громоздкими вычислениями, основанными на том, что двумерную плотность вероятности (7.70) разлагают в бесконечный ряд по многочленам Лагерра [22]. Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный результат:

Представляя функцию корреляции в виде из (7.74) находим выражение для нормированной функции корреляции огибающей:

Пример 7.6. Известно, что функция корреляции некоторого случайного процесса

Здесь высокочастотный сомножитель имеет период , амплитудный сомножитель изменяется за это время лишь в раза. Поэтому рассматриваемый случайный процесс можно считать узкополосным с центральной частотой . Ограничиваясь первым членом ряда в формуле (7.75) и заменяя приближенно коэффициент 0.915 на единицу, находим нормированную функцию корреляции огибающей:

Дисперсия огибающей , откуда функция корреляции

Интервал корреляции огибающей

составляет 50 периодов гармонического колебания с частотой .

Наконец, односторонний спектр мощности огибающей (см. пример 7.1)

имеет низкочастотный характер.

Огибающая суммы гармонического сигнала и узкополосного нормального шума.

В радиотехнике часто интересуются статистическими свойствами сигнала, наблюдаемого на выходе некоторого частотно-избирательного устройства, например, резонансного усилителя. Будем считать, что помимо флуктуационного гауссова шума с центральной частотой равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует также детерминированный гармонический сигнал с известной амплитудой

Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. Считая, что полезный сигнал , в то время как шум запишем выражение реализации суммарного процесса

Данный случайный процесс узкополосен, поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающей и начальной фазы

Очевидно, между парами имеется связь:

Легко проверить, что якобиан D этого преобразования равен U. Тогда, поскольку двумерная плотность вероятности

в новых переменных имеем

Теперь, чтобы получить одномерную плотность вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы (7.77) по угловой координате:

в результате чего находим

Данная формула выражает закон, получивший в радиотехнике название закона Райса. Отметим, что при т. е. в отсутствие детерминированного сигнала, закон Райса переходит в закон Рэлея.

На рис. 7.2 представлены графики плотности вероятности случайней величины, распределенной по закону Райса при различных отношениях

Отметим, что если амплитуда детерминированного сигнала значительно превышает среднеквадратический уровень шума, т. е. то при можно воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя с большим аргументом:

Рис. 7.2. Графики плотности вероятности случайной величины, распределенной по закону Райса

Подставив это выражение в (7.78), имеем

т. е. огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае приближенно нормально с дисперсией и математическим ожиданием

Практически считают, что уже при огибающая результирующего сигнала нормализуется. Полезно вспомнить, что огибающая чистого шума, распределенная по закону Рэлея, имеет дисперсию, равную Таким образом, наложение достаточно большого гармонического сигнала приводит более чем к двукратному росту дисперсии огибающей. Тем не менее относительные флуктуации огибающей при этом падают. Действительно, для чистого шума величина которую удобно принять в качестве числовой оценки флуктуаций, равна 0.523 При большом детермированном сигнале величина стремясь к нулю с ростом амплитуды