9.2. Частотно-избирательные цепи при иирокополосных входных воздействиях

Задача о поведении узкополосной частотно-избирательной цепи, возбуждаемой широкополосным входным сигналом, представляет интерес, например, в связи с тем, что сигналы помех часто представляют собой короткие импульсы. Эффективная ширина спектра таких сигналов может значительно превышать ширину полосы пропускания частотноизбирательной системы.

Понятие пнрокоаолосного сигнала. Пусть — частотный коэффициент передачи узкополосной цепи, способной выделять спектральные составляющие входного сигнала, сосредоточенные в малых окрестностях частот Входное колебание со спектральной плотностью называют широкополосным сигналом применительно к данной цепи, если функцию можно приближенно считать постоянной в пределах полосы пропускания системы. При этом

Согласно выражению (9.18), форма выходного сигнала в данном случае определяется не характером входного колебания, а лишь частотным коэффициентом передачи системы.

Импульсная характеристика частотно-избирательной цели.

Сигналом с предельно широким спектром является дельтаимпульс, для которого Выходным сигналом в данном случае служит импульсная характеристика

Рассмотрим первое слагаемое в правой части выражения (9.19) и перейдем в нем от переменной интегрирования к новой частотной переменной в соответствии с формулой

Такой переход означает смещение функдии из окрестности точки в окрестность точки Таким образом,

Поскольку рассматриваемая иепь узкополосная, модуль частотного коэффициента передачи достаточно резко уменьшается с увеличением . Это означает, что в последнем интеграле (9.20) нижний предел — можно с полным основанием заменить на . В результате имеем

Аналогично, выполнив замену переменной преобразуем второй интеграл в (9.19) к виду

Комплексно-сопряженные выражения (9.21) и (9.22) складываются, поэтому импульсная характеристика узкополосной системы оказывается вещественной:

Низкочастотный эквивалент частотно-избирательной цели.

Этим термином принято называть воображаемую систему, частотный коэффициент передачи которой получается путем смещения частотного коэффициента передачи реальной узкополосной цепи из окрестности частоты в окрестность нулевой частоты, т. е.

Интеграл в (9.23) является импульсной характеристикой НЧ-эквивалента:

Поэтому

откуда следует, что функция является комплексной огибающей импульсной характеристики реальной узкополосной цепи. В соответствии с формулой (9.26), в общем случае импульсная характеристика частотно-избирательной системы представляет собой квазигармоническое колебание, огибающая и начальная фаза которого медленно (в масштабе времени ) изменяются во времени.

Пример 9.3. Низкочастотный эквивалент параллельного колебательного контура.

Здесь частотным коэффициентом передачи служит входное сопротивление

Коэффициент передачи НЧ-эквивалента получим, выполнив в (9.27) замену переменной

Эта формула с точностью до масштабного множителя R описывает частотный коэффициент передачи динамической системы 1-го порядка (подобной RC-цепи) с постоянной времени

называемой постоянной времени колебательного контура.

Импульсная характеристика подобной системы была найлена в гл. 8 при изучении свойств RC-цепи:

Отсюда импульсная характеристика параллельного контура

(9.31)

Поскольку где С — емкость контура, полученный результат полностью совпадает с найденным в примере 8.19.

Пример 9.4. Импульсная характеристика идеализированной узкополосной системы, частотный коэффициент передачи которой

Перенеся эту функцию в окрестность нулевой частоты, получаем коэффициент передачи НЧ-эквивалента:

откуда соответствующая импульсная характеристика

Импульсную характеристику исходной системы найдем по формуле (9.26):

Рис. 9.4. Принпипиальная схема двухконтуриого усилителя

Пример 9.5. Импульсная характеристика двухконтурного резонансного усилителя, схема которого изображена на рис. 9.4.

Положим для простоты, что обе ступени усилителя настроены на одну и ту же резонансную частоту , имеют одинаковые резонансные коэффициенты усиления и одинаковые постоянные времени . Тогда частотный коэффициент передачи

откуда

Заменяя частотную переменную на комплексную частоту , имеем следующую передаточную функцию НЧ-эквивалента:

В соответствии с таблицами преобразований Лапласа ей отвечает импульсная характеристика

откуда импульсная характеристика двухконтурного усилителя:

Соответствующий график приведен на рис. 9.5.

Рис. 9.5. Импульсная характеристика двухконтурного резонансного усилителя

Общий случай.

Предположим, что на вход некоторой частотно-избирательной системы воздействует произвольный широкополосный сигнал со спектральной плотностью

Считая, что — вещественная функция, имеем

Представим выходное колебание в виде суммы

(9.35)

Здесь

Аналогично,

Подставляя эти промежуточные результаты в (9.35), получаем окончательный результат

Естественно, что из (9.38) вытекает как частный случай формула (9.26), описывающая импульсную характеристику узкополосной цепи.

Физический смысл спектрального разложения.

Положим для простоты, что — вещественная функция, и представим формулу (9.38) в виде

где

Входящее сюда выражение представляет собой величину Таким образом, как отмечалось, отклик узкополосной системы на широкополосный сигнал пропорционален абсолютному значению спектральной плотности входного сигнала в той точке на оси частот, которая соответствует центральной частоте полосы пропускания системы

Этот результат указывает путь осуществления аппаратурного спектрального анализа сигналов. На рис. 9.6 приведена структурная схема анализатора спектра, построенного по так называемому параллельному принципу.

Рис. 9.6. Структурная схема анализатора спектра сигналов (амплитуды выходных колебаний фильтров пропорциональны модулям спектральной плотности)

Сформулированный здесь принцип аппаратурного спектрального анализа имеет не только прикладное, но и. большое принципиальное значение. В частности, он позволяет установить физический смысл поведения спектров сигналов, изученных в гл. 2. Например, как было показано, спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса длительностью обращается в нуль на всех частотах Предположим, что данный видеоимпульс воздействует на вход узкополосной колебательной системы, настроенной на одну из этих частот. Период собственных колебаний системы находится в целократном соотношении с длительностью импульса. Колебательная система, получив «толчок» от фронта импульса, через время, кратное периоду собственных колебаний, получит такой же «толчок», но в противоположном направлении, от среза импульса. В результате будет наблюдаться взаимное погашение этих реакций. Именно об этом говорят нулевые значения спектральной плотности видеоимпульса в некоторых точках оси частот.

Прекрасное изложение вопросов, связанных с физическими аспектами спектральных разложений, читатель может найти в [19].