6.2. Статистические характеристики систем случайных величин

Свойства случайных сигналов принято описывать, рассматривая не просто те величины, которые наблюдаются в какой-нибудь момент времени, а изучая совокупности этих величин, относящихся к различным фиксированным моментам времени. Займемся теорией подббных многомерных случайных величин.

Функция распределения и плотность вероятности.

Пусть даны случайные величины , образующие -мерный случайный вектор X. По аналогии, с одномерным случаем функция распределения этого вектора

Отвечающая ей -мерная плотность вероятности удовлетворяет соотношению

Очевидно, функция распределения может быть найдена путем интегрирования плотности вероятности:

Любая многомерная плотность обладает свойствами, обычными для плотности вероятности:

Зная -мерную плотность, всегда «можно найти -мерную плотность при интегрируя по «лишним» координатам:

Вычисление моментов.

Располагая соответствующей многомерной плотностью вероятности, можно находить средние значения любых комбинаций из рассматриваемых случайных величин и, в частности, вычислять их моменты. Так, ограничиваясь наиболее важным для дальнейшего случаем двумерной случайной величины, по аналогии с (6.4), (6.7) находим математические ожидания

и дисперсии

Новой по сравнению с одномерным случаем является возможность образования смешанного момента второго порядка

называемого ковариационным моментом системы двух случайных величин.

Корреляция.

Предположим, что проведена серия опытов, в результате которых каждый раз наблюдалась двумерная случайная величина Условимся исход каждого опыта изображать точкой на декартовой плоскости.

Может оказаться, что изображающие точки в среднем располагаются вдоль некоторой прямой, так что в каждом отдельном испытании величины имеют чаще всего одинаковый знак. Это наводит на мысль о том, что между есть статистическая связь, называемая корреляцией.

Однако возможен случай хаотического расположения точек на плоскости. Говорят, что при этом рассматриваемые величины некоррелированы, т. е. между ними нет устойчивой связи в вероятностном смысле.

Количественной характеристикой степени статистической связи двух случайных величин служит их ковариационный момент или, что часто удобнее, корреляционный момент определяемый как среднее значение произведения

Вводят также безразмерный коэффициент корреляции

Для совпадающих случайных величин, когда имеют место равенства

Если размерность случайного вектора больше двух, то можно построить всевозможные перекрестные корреляционные моменты

и коэффициенты корреляции которые объединяются в соответствующие матрицы

Можно показать, что всегдв причем равенство возможно лишь при условии (полностью коррелированные величины).

Статистическая независимость случайных величин. По определению, случайные величины статистически независимы, если их многомерная плотность вероятности может быть представлена в виде произведения соответствующих одномерных плотностей:

Статистически независимые случайные величины некоррелированы между собой.

Действительно, для них

при Обратное утверждение в общем случае неверно: из некоррелированности не вытекает автоматически статистическая независимость случайных величин.

Функциональные преобразования многомерных случайных величин.

Предположим, что составляющие даух случайных векторов X и Т связаны однозначной зависимостью

причем известны обратные функции

Исходная плотность вероятности задана. Для того чтобы обобщить формулу (6.11) на многомерный случай и вычислить плотность вероятности преобразованного вектора, следует найти якобиан преобразования

Тогдв искомая плотность вероятности

(6.25)

Пример 6.4. Пусть — случайные координаты конца вектора на плоскости.

Перейдем к полярным координатам :

Якобиан такого преобразования

Поэтому если задана плотность вероятности то

Многомерное гауссово распределение.

Предположим, что для -мерной случайной величины известны совокупности средних значений и дисперсий также матрица коэффициентов корреляции .

В общем случае этих сведений недостаточно для построения -мерной плотности вероятности. Исключением является случай, когда — многомерная гауссова величина. Тогда, по определению,

где — определитель матрицы ; — алгебраическое дополнение элемента определителя

Важное свойство гауссова распределения заключается в следующем. Пусть вектор X образован некоррелированными случайными величинами, так что в матрице отличны от нуля лишь элементы на главной диагонали: При этом алгебраические дополнения Представим эти величины в (6.26), получим

где каждое из одномерных гауссовых распределений обладает параметрами

Итак, если гауссова совокупность образована некоррелированными случайными величинами, то все они статистически независимы.

В дальнейшем часто используется двумерная гауссова плотность вероятности

где — коэффициент корреляции составляющих

Эта формула упрощается, если

Подобная плотность вероятности отображается гладкой поверхностью, построенной над координатной плоскостью Величина достигает максимума в начале координат. Конфигурация поверхности зависит от коэффициента корреляции .

Многомерная характеристическая функция.

Обобщением понятий характеристической функции на многомерный случай служит -мерное преобразование Фурье от соответствующей плотности вероятности:

Многомерная характеристическая функция описывает систему случайных величин с той же степенью полноты, как и отвечающая ей плотность вероятности, выражаемая обратным преобразованием Фурье:

Если — совокупность статистически независимых величин, то на основании (6.29) многомерная характеристическая функция распадается на произведение одномерных характеристических функций отдельных случайных величин:

Можно показать, что многомерной гауссовой случайной величине отвечает характеристическая функция

где — среднее значение и дисперсия случайной величины — элемент корреляционной матрицы.

Плотность вероятности суммы случайных веливдн. Если в формуле (6.29) положить то многомерная характеристическая функция переходит в одномерную характеристическую функцию суммы

Отсюда, выполнив обратное преобразование Фурье, можно найти плотность вероятности этой суммы. Например, если — гауссовы некоррелированные (а значит, и независимые) случайные величины с параметрами с каждая, то из (6.32) следует, что

Сравнивая этот результат с формулой (6.16), убеждаемся, что сумма нормальных случайных величин распределена также нормально, причем математические ожидания и дисперсии слагаемых суммируются:

В теории вероятностей доказывается гораздо более сильное утверждение, составляющее сущность центральной предельной теоремы А. М. Ляпунова [21].

Согласно этой теореме, распределение суммы независимых случайных величин, дисперсии которых конечны, а распределения вероятности произвольны, при некоторых ограничениях, как правило, выполняемых в физических задачах, стремится к гауссову с ростом числа слагаемых.