3.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов

В ряде теоретических и прикладных разделов радиотехники бывает удобным ввести особую характеристику совокупности двух сигналов — их взаимокорреляционную функцию (ВКФ), которая единым образом описывает как различие в форме сигналов, так и их взаимное расположение на оси времени.

Принцип определения взаимокорреляцинной функции.

Обобщая формулу (3.15), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов скалярное произведение вида

Целесообразность подобной интегральной характеристики сигналов видна из следующего примера. Пусть, например, сигналы и в исходном состоянии ортогональны, так что

При прохождении этих сигналов через различные устройства возможно, что сигнал будет сдвинут относительно сигнала на некоторое время . Ясно, что ВКФ служит мерой «устойчивости» ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени.

Некоторые свойства взаимокорреляцинной функции.

Если в формуле (3.32) заменить переменную интегрирования, введя , так что то, очевидно, возможна и такая запись:

Поэтому

В отличие от автокорреляционной функции одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента

Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их взанмокорреляционная функция ограничена. Это утверждение следует из неравенства Коши — Буняковского:

откуда

так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы.

Следует обратить внимание на то, что при значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума.

Пример 3.7. Вычислить функцию для случая, когда сигнал — прямоугольный, — треугольный видеоимпульс. Их амплитуды V и длительности Т одинаковы; в исходном состоянии (в отсутствие задержки) сигналы существуют на общем отрезке времени .

При рассматриваемые сигналы описываются так:

Если т. е. сигнал задержан во времени относительно u(t), то

Определив безразмерный параметр проведя элементарные выкладки, приходим к результату:

Если т. е. треугольный импульс опережает прямоугольный, то

откуда

Функция, вычисленная по формулам (3.36) и (3.37), изображена на рис. 3.8.

Рис. 3.8. График взаимокорреляпионной функции прямоугольного и треугольного видеоимпульсов

Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью.

Выразим ВКФ двух сигналов через их спектральные характеристики. Методика рассуждений полностью повторяет ту, которая применялась ранее при спектральном представлении автокорреляционной функции одиночного сигнала. На основании обобщенной формулы Рэлея

и, поскольку спектр смещенного во времени сигнала то

Имея в виду, что величина есть взаимный энергетический спектр сигналов определенный в бесконечном интервале частот — приходам к выводу: взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парой преобразований Фурье.

Обобщение на случай дискретных сигналов.

Пусть сигналы заданы в двскретной форме как совокупности отсчетов:

следующих во времени с одинаковыми интервалами Т. По аналогии с автокорреляционной функцией одиночного сигнала определим ВКФ двух дискретных сигналов по формуле

где — целое число, положительное, отрицательное или нуль.

Продемонстрируем вычисление этой функции на примере двух четырехпозиционных сигналов Баркера:

Если то сигнал v запаздывает относительно сигнала .

Подобно тому как это делалось в предыдущем параграфе, составим таблицу, содержащую сигнал и и последовательность сдвинутых копий сигнала в:

Вычисляя по формуле (3.39), получаем

Аналогично строим таблицу, отражающую сдвиги сигнала в сторону опережения:

и находим

Диаграмма, представляющая ВКФ этих двух сигналов, имеет несимметричный вид; максимум функции достигается при сдвиге сигнала v на одну позицию.