4.2. Сигналы с угловой модуляцией

Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счет того, что в несущем гармоническом колебании и нес передаваемое сообщение изменяет либо частоту , либо начальную фазу ; амплитуда остается неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.

Виды угловой модуляции.

Предположим вначале, что полная фаза связана с сигналом s(t) зависимостью

где — значение частоты в отсутствие полезного сигнала; k — некоторый коэффициент пропорциональности. Модуляцию, отвечающую соотношению (4.19), называют фазовой модуляцией (ФМ):

Рис. 4.5. Фазовая модуляция: 1 — модулирующий низкочастотный сигнал; 2 — немодулироваиное гармоническое колебание; 3 — сигнал с фазовой модуляцией

Если сигнал то ФМ-колебание является простым гармоническим колебанием. С увеличением значений сигнала полная фаза растет во времени быстрее, чем по линейному закону. При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад скорости роста во времени. На рис. 4.5 показано построение графика ФМ-сигнала.

В моменты времени, когда сигнал достигает экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и смодулированным гармоническим колебанием оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазового сдвига называют девиацией фазы . В общем случае, когда сигнал изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх и девиацию фазы вниз

На векторной диаграмме изображающий вектор постоянной длины будет совершать вращение с непостоянной угловой скоростью. Мгновенная частота сигнала с угловой модуляцией определяется как первая производная от полной фазы по времени:

так что

(4.22)

При частотной модуляции сигнала (ЧМ) между величинами имеется связь вида

Поэтому

Естественными параметрами ЧМ-сигнала общего вида в соответствии с формулой (4.23) являются девиация частоты вверх Асов — ksaaa и девиация частоты вниз .

Если — достаточно гладкая функция, то внешне осциллограммы ФМ- и ЧМ-сигналов не отличаются. Однако имеется принципиальная разница: фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и немодулированным колебанием пропорционален s(t), в то время как для ЧМ-сигнала этот сдвиг пропорционален интегралу от передаваемого сообщения.

Однотональные сигналы с угловой модуляцией.

Анализ ФМ- и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому основное внимание будет уделено простейшим однотоиальиым сигналам.

В случае однотонального ЧМ-сигнала мгновенная частота

где — девиация частоты сигнала. На основании формулы (4.22) полная фаза такого сигнала

где — некоторый постоянный фазовый угол.

Отсюда видно, что величина

называемая индексом однотональной угловой модуляции, представляет собой девиацию фазы такого сигнала, выраженную в радианах.

Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы и выразим мгновенное значение ЧМ-сигнала в виде

Аналитическая форма записи однотонального ФМ-сигнала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следующее: ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала.

При частотной модуляции девиация частоты пропорциональна амплитуде низкочастотного сигнала. В то же время величина не зависит от частоты модулирующего сигнала. В случае фазовой модуляции ее индекс оказывается пропорциональным амплитуде низкочастотного сигнала независимо от его частоты. Как следствие этого, девиация частоты при фазовой модуляции в соответствии с формулой (4.25) линейно увеличивается с ростом частоты.

Пример 4.2. Радиостанция, работающая в УКВ-диапазоне с несущей частотой , излучает ФМ-сигнал, промодулированный частотой F = 15 кГц. Индекс модуляции Найти пределы, в которых изменяется мгновенная частота сигнала.

Математическая модель сигнала имеет вид

Девиация частоты составит

Таким образом, при модуляции мгновенная частота сигнала изменяется в пределах от до .

Спектральное разложение ЧМ- и ФМ-сигналов при малых индексах модуляции.

Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в случае, когда Для этого преобразуем формулу (4.26) следующим образом:

Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближенными равенствами

На основании этого из равенства (4.27) получаем

Таким образом, показано, что при в спектре сигнала с угловой модуляцией содержатся несущее колебание и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах Индекс играет здесь такую же роль, как коэффициент амплитудной модуляции [ср. с формулой (4.5)]. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой модуляцией. Для спектральной диаграммы (рис. 4.6, а), построенной по формуле (4.28), характерно то, что нижнее боковое колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180°.

Как следствие этого, сумма векторов, отображающих оба боковых колебания (рис. 4.6,б), всегда перпендикулярна вектору . С течением времени вектор будет «качаться» вокруг центрального положения. Незначительные изменения длины этого вектора обусловлены прилиженным характером анализа, и при очень малых ими можно пренебречь.

Рис. 4.6. Диаграммы сигнала с угловой модуляцией при : а — спектральная; б — векторная

Более точный анализ спектрального состава сигналов с угловой модуляцией.

Можно попытаться уточнить полученный результат, воспользовавшись двумя членами ряда в разложении гармонических функций малого аргумента. При этом формула будет выглядеть так:

Несложные тригонометрические преобразования приводят к результату:

Эта формула свидетельствует о том, что в спектре сигнала с однотональной угловой модуляцией, помимо известных составляющих, содержатся также верхние и нижние боковые колебания, соответствующие гармоникам частоты модуляции. Поэтому спектр такого сигнала сложнее спектра аналогичного АМ-сигнала. Отметим также, что возникновение новых спектральных составляющих приводит к перераспределению энергии по спектру. Так, из формулы (4.29) видно, что с ростом амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как амплитуда несущего колебания уменьшается пропорционально множителю ).

Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса.

Для простейшего случая однотонального ЧМ- или ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуляции .

В разделе курса математики, посвященном специальным функциям, доказывается, что экспонента с мнимым показателем специального вида, периодическая на отрезке разлагается в комплексный ряд Фурье:

где — любое вещественное число; — функция Бесселя индекса от аргумента .

Сравнивая формулы (4.30) и (4.27), а также подставляя перепишем последнюю из указанных формул так:

Отсюда получаем следующую математическую модель ЧМ- или ФМ-сигнала с любым значением индекса модуляции:

Рис. 4.7. Графики функций Бесселя

Спектр одиотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, частоты которых равны амплитуды этих составляющих пропорциональны значениям

В теории функций Бесселя доказывается, что функции с положительными и отрицательными индексами связаны между собой:

Поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами совпадают, если к — четное число, и отличаются на 180°, если к — нечетное.

Для детального анализа и построения спектральных диаграмм необходимо знать поведение функций при различных в зависимости от к. На рис. 4.7 приведены графики двух функций Бесселя, существенно различающихся своими индексами.

Можно заметить следующее: чем больше индекс функции Бесселя, тем протяженнее область аргументов, при которых эта функция очень мала. Этот факт отображает табл. 4.1.

Табл. 4.1 совместно с формулой (4.32) позволяет построить типичные спектральные диаграммы сигнала с одиотональной угловой модуляцией при не слишком больших значениях индекса (рис. 4.8).

Важно отметить, что с ростом индекса модуляции расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номерами Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуляцией

Как правило, реальные ЧМ- и ФМ-сигналы характеризуются условием . В этом случае

Таблица 4.1 Значения функций Бесселя

Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.

Как было выяснено, для передачи амплитудно-модулированного сигнала требуется полоса частот, равная т. е. в раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- и ФМ-сигналов обусловливает их применимость для целей радиосвязи лишь на очень высоких частотах, в диапазонах метровых и более коротких волн. Однако именно широкополое ность приводит к гораздо большей помехоустойчивости сигналов с угловой модуляцией по сравнению с АМ-сигналами. Сравнительный анализ помехоустойчивости различных видов модуляции будет детально проведен в гл. 16.

Как отмечалось, рост индекса модуляции приводит к перераспределению мощности в спектре модулированного сигнала.

Рис. 4.8. Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса (амплитуды представлены в относительном масштабе)

В частности, если значение выбрано таким, что то несущее колебание на частоте в спектре будет отсутстствовать. Значения , являющиеся корнями данного уравнения, образуют бесконечную возрастающую последовательность чисел ( - номер корня). Приведем для справок табл. 4.2.

Таблица 4.2 Корни уравнения

Пример 4.3. Однотоналъшй ЧМ-сигнал имеет девиацию частоты Найти частоты модуляции F, при которых несущее колебание в спектре сигнала будет отсутствовать.

Индекс, модуляции т. е. частота модуляций Обращаясь к табл. 4.2, находим последовательность частот, удовлетворяющую поставленному условию: и т. д.

Угловая модуляция при негармоническом модулирующем сигнале.

Интересная особенность колебаний с угловой модуляцией проявляется в случае; когда модулирующий сигнал не является гармоническим. Рассмотрим для простоты сигнал, прсмодулированный лишь двумя низкими частотами:

Положим, что парциальные индексы модуляции и малы настолько, что можно пользоваться приближенными выражениями для косинуса и синуса: .

Выполнив несколько громоздкие, но вполне элементарные тригонометрические преобразования, представим исходный сигнал в виде суммы

Спектральная диаграмма такого двухтонального сигнала изображена на рис. 4.9.

Следует обратить внимание на то, что в спектре рассматриваемого сигнала, помимо частот присутствуют так называемые комбинационные частоты с четырьмя возможными знаками.

Рис. 4.9. Спектральная диаграмма сигнала с двухтональной угловой, модуляцией при малых значениях парциальных индексов модуляции

Амплитуды этих составляющих зависят от произведения парциальных индексов модуляции.

Можно показать, что в общем случае, когда угловая модуляция осуществляется группой низкочастотных колебаний с частотами и парциальными индексами соответственно, спектральное представление сигнала таково:

Таким образом, при прочих равных условиях спектр колебания со сложной угловой модуляцией гораздо богаче спектра аналогичного АМ-сигнала. Подчеркивая взаимодействие отдельных составляющих модулирующего сигнала, угловую модуляцию, в отличие от амплитудной, иногда называют модуляцией нелинейного типа.