5.4. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта

Ниже будет описан еще один способ комплексного представления сигналов, часто применяемый в теоретических исследованиях. Замечательная особенность данного способа состоит в том, что он позволяет вводить понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала без той степени неопределенности, которая свойственна методу комплексной огибающей.

Аналитический сигнал. Формула Эйлера

представляющая гармоническое колебание в виде суммы даух комплексно-сопряженных функций, наводит на мысль о том, что произвольный сигнал s(t) с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты

Назовем функцию

аналитическим сигналом, отвечающим вещественному колебанию s(t). Первый из интегралов в правой части формулы (5,37) путем замены переменной преобразуется к виду

Поэтому формула (5.37) устанавливает связь между сигналами или

Мнимая часть аналитического сигнала

называется сопряженным сигналом по отношению к исходному колебанию s(t). Итак, аналитический сигнал

на комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу s(t).

Введение аналитического и сопряженного сигналов, безусловно, не позволяет подучить каких-либо новых сведений, которые не содержались бы в математической модели сигнала s(t). Однако эти новые понятия открывают прямой путь к созданию систематических методов исследования узкополосных колебаний.

На конкретном примере покажем способ вычисления аналитического сигнала по известному спектру исходного сигнала.

Пример 5.6. Пусть - идеальный низкочастотный сигнал с известными параметрами (см. § 5.1).

В этом случае аналитический сигнал

Выделяя вещественную и мнимую части, получаем

Графики этих двух сигналов приведены на рис. 6,3.

Рис. 5.3. Исходный и сопряженный сигналы: 1 — идеальный низкочастотный сигнал; 2 — сопряженный с ним сигнал

Спектральная плотность аналитического сигнала.

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала, т. е. функцию связанную с -преобразованием Фурье:

На основании формулы (5.38) можно утверждать, что эта функция отлична от нуля лишь в области положительных частот:

Если — спектральная плотность сопряженного сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье

Поэтому равенство (5.42) будет выполняться только в случае, когда спектральные плотности исходного и сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом:

Абстрактно можно представить себе такой способ получения сопряженного сигнала: исходное колебание подается на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол —90° в области положительных частот и на угол 90° в области отрицательных частот, не изменяя их по амплитуде. Систему, обладающую подобными свойствами, называют квадратурным фильтром.

Преобразование Гильберта.

Формула (5.44) показывает, что спектральная плотность сопряженного сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции — . Поэтому сопряженный сигнал представляет собой свертку даух функций: , которая является обратным преобразованием Фурье по отношению к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Тогда

Таким образом, сопряженный сигнал связан с исходным сигналом соотношением

Можно поступить и по-иному, выразив сигнал через который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (5.44) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (5.45) лишь знаком:

Формулы (5.45) и (5.46) известны в математике под названием прямого и обратного преобразований Гильберта.

Символическая запись их такова:

Поскольку функция называемая ядром этих преобразований, имеет разрыв при интегралы (5.45) и (5.46) следует понимать в смысле главного значения. Например:

Некоторые свойства преобразований Гильберта.

Простейшее свойство этих интегральных преобразований — их линейность:

при любых постоянных в чем можно убедиться непосредственно.

Ядро преобразования Гильберта есть нечетная функций аргумента относительно точки а, значит, сигнал, сопряженный к константе, тождественно равен нулю:

Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо t исходный сигнал s(t) достигает экстремума (максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряженный сигнал проходит через нуль. Чтобы убедиться в этом, нужно на одном чертеже совместить графики s(t) и ядра . Пусть значение t близко к тому при котором функция экстремальна. Поскольку сигнал является здесь четной функцией, а ядро нечетной, будет наблюдаться компенсация площадей фигур, ограниченных горизонтальной осью и кривой, которая описывает подынтегральную функцию преобразования Гильберта. Образно говоря, если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряженный с ним сигнал будет изменяться «подобно синусу».

Отметим, что преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: подведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени, хотя наибольший вклад дает, конечно, достаточно близкая окрестность рассматриваемой точки.

Преобразования Гильберта для гармонических сигналов.

Вычислим сигналы, сопряженные с гармоническими колебаниями и Результаты можно получить непосредственно из формулы (5.45). Однако проще поступить таким образом. Пусть некоторый произвольный сигнал задан своим Фурье-представлением:

На основании соотношения (5.44) находим аналогичное представление сопряженного сигнала:

Рассматривая формулы (5.48) и (5.49) совместно, находим следующие законы преобразования Гильберта:

Преобразование Гильберта для узкополосного сигнала

Пусть известна функция — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала s(t) с опорной частотой . Согласно формуле (5.36), спектр данного сигнала

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот второе — Тогда на основании формулы (5.44) спектр сопряженного сигнала

откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряженного сигнала

Итак, сопряженный сигнал в данном случае также является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала

то в соответствии с равенством (5.53) комплексная огибающая сопряженного сигнала

отличается от комплексной сгибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на 90° в сторону запаздывания.

Отсюда следует, что узкополосному сигналу

соответствует сопряженный по Гильберту сигнал

Вычисление огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразований Гильберта огибающая произвольного сигнала определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

Целесообразность такого определения можно проверить на примере узкополосного сигнала. Используя формулы (5.54) и (5.55), находим, что огибающая такого сигнала

В § 5.3 данная формула была получена из других соображений.

По определению, полная фаза любого сигнала равна аргументу аналитического сигнала

(5-57)

Наконец, мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие вычисление указанных характеристик узкополосных сигналов.

Пример 5.7. Дано простое гармоническое колебание

В этом случае сопряженный сигнал Огибающая исходного сигнала

естественно, не зависит от времени и равна его амплитуде.

Полная фаза и, наконец, мгновенная частота Данный пример показывает, что определение огибающей, полной фазы и мгновенной частоты через преобразование Гильберта приводит к результатам, согласующимся с обычными представлениями о свойствах гармонических колебаний.

Пример 5.8. Колебание s(t) является суммой двух гармонических составляющих с различными амплитудами и частотами:

Поскольку

огибающая такого сигнала изменяется во времени по закону

Полная фаза сигнала

Для вычисления мгновенной частоты сяедует воспользоваться формулой (5.58), которая приводит к следующему результату:

Мгновенная частота изменяется во времени. Это связано с тем, что в данном случае фаза результирующего вектора, отображающего сумму двух гармонических колебаний, изменяется с различной скоростью в зависимости от того, как ориентированы по отношению друг к другу векторы слагаемых.

Пример 5.9. Рассмотрим идеальный полосовой сигнал s(t), спектр которого при отличен от нуля лишь на отрезке

Соответствующий аналитический сигнал

Огибающая исходного полосового сигнала

Наконец, мгновенная частота сигнала

Выполнив несложные преобразования, находим, что в данном случае не зависит от времени и равна центральной частоте интервала, в котором сосредоточен спектр.

Итак, зная аналитический сигнал, можно однозначно определять огибающую и мгновенную частоту узкополосного колебания, не применяя несколько искусственное понятие опорной частоты. Более того, формулы (5.56)-(5.58) сохраняют смысл применительно к сигналам произвольного вида, не обязательно удовлетворяющим условиям квазигармоничности (узкополосности).

Заключительные замечания.

Теория аналитического сигнала применительно к задачам теории колебаний и волн была развита в 40-х годах в работах Габора [30]. Однако преобразования Гильберта появились в математике еще в начале XX в. в связи с так называемой краевой задачей теории аналитических функций [10]. Сущность этой задачи состоит в следующем.

Пусть — комплексная переменная, — функция, аналитическая в верхней полуплоскости, т. е. при На вещественной оси, являющейся границей области аналитичности, функция имеет как вещественную, так и мнимую части:

Требуется найти закон, связывающий между собой функции .

Решение задачи дается преобразованиями Гильберта:

Можно показать [13], что аналитический сигнал как раз обладает свойством аналитичности в верхней полуплоскости, если его рассматривать как функцию комплексной переменной

В последнее время методы, основанные на понятиях аналитического сигнала и преобразований Гильберта, прочно вошли в арсенал теоретической радиотехники. Некоторые интересные проблемы в этой области описаны в [261.