15.2. Дискретизация периодических сигналов

Модель дискретного сигнала вида (15.5) предполагает, что отсчетные значения аналогового колебания могут быть получены в неограниченном числе точек на оси времени. Практически получить столь обширные сведения о сигнале, безусловно, невозможно, поскольку обработка всегда ведется на конечном интервале времени.

Изучим особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задай на отрезке своими отсчетами взятыми соответственно в моменты времени полное число отсчетов Массив этих чисел, вещественных или комплексных, является единственным источником сведений о спектральных свойствах сигнала

Методика изучения таких дискретных сигналов состоит в том, что полученная выборка отсчетных значений мысленно повторяется бесконечное число раз. В результате сигнал становится периодическим (рис. 15.4).

Рис. 15.4. Дискретное представление периодического сигнала

Сопоставив такому сигналу некоторую математическую модель, можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.

Дискретное преобразование Фурье.

Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов и сопоставим исходному колебанию x(t) его дискретное МИП-представление:

(15.14)

Представим дискретную модель (15.14) комплексным рядом Фурье:

(15.15)

с коэффициентами

(15.16)

Подставляя формулу (15.14) в (15.16) и вводя безразмерную переменную получим

Наконец, используя фильтрующее свойство дельта-функции, имеем

(15.17)

Формула (15.17) определяет последовательность коэффициентов, образующих дискретное преобразование Фурье (ДПФ) рассматриваемого сигнала. Отметим некоторые очевидные свойства ДПФ.

1. Дискретное преобразование Фурье есть линейное преобразование, т. е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ.

2. Число различных коэффициентов вычисляемых по формуле (15.17), равно числу N отсчетов за период; при коэффициент

3. Коэффициент (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчетов:

4. Если N — четное число, то

5. Пусть отсчетные значения — вещественные числа. Тогда коэффициенты ДПФ, номера которых располагаются симметрично относительно образуют сопряженные пары:

Поэтому можно считать, что коэффициенты отвечают отрицательным частотам. При изучении амплитудного спектра сигнала они не дают новых сведений.

Пример 15.1. Дискретный сигнал на интервале своей периодичности задан шестью равноотстоящими отсчетами . Найти коэффициенты ДПФ этого сигнала.

Используя основную формулу (15.17), непосредственно вычисляем:

Последующие коэффициенты находят на основании свойства S:

Итак, располагая дискретным сигналом с числом отсчетов можно найти постоянную составляющую, а также комплексные амплитуды первой, второй и третьей гармоник исходного непрерывного сигнала. Ясно, что при любом четном N число находимых гармоник составляет половину числа отсчетов. Это положение непосредственно вытекает из теоремы Котельникова. Действительно, верхнюю граничную частоту в спектре дискретизируемого сигнала следует находить из соотношения где частота первой гармоники.

Восстановление исходного сигнала по ДПФ.

Если на основании совокупности отсчетов некоторого сигнала найдены коэффициенты ДПФ то по ним всегда можно восстановить исходный сигнал с ограниченным спектром, который был подвергнут дискретизации. Ряд Фурье такого сигнала принимает, очевидно, вид конечной суммы:

(15.18)

где — фазовый угол коэффициента ДПФ.

Рис. 15.5. Сигнал, восстановленный по коэффициентам ДПФ

В качестве примера на рис. 15.5 изображен сигнал восстановленный по своим отсчетам в соответствии с данными примера 15.1. На основании формулы (15.18) этот сигнал имеет вид

Следует подчеркнуть, что восстановление непрерывного сигнала по формуле (15.18) есть не приближенная, а точная операция, полностью эквивалентная получению текущих значений сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам. Однако процедура, использующая ДПФ, в ряде случаев предпочтительна. Она приводит к конечным суммам гармоник, в то время как ряд Котельникова для периодического сигнала принципиально должен содержать бесконечное число членов.

Обратное дискретное преобразование Фурье.

Задача дискретного спектрального анализа может быть поставлена и по-иному. Допустим, что коэффициенты образующие ДПФ, заданы. Положим в формуле (15.15) учтем, что суммируется лишь конечное число членов ряда, которые отвечают гармоникам, содержащимся в спектре исходного сигнала. Таким образом, получаем формулу для вычисления отсчетных значений:

(15.19)

выражающую алгоритм обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).

Взаимно дополняющие друг друга формулы (15.17) и (15.19) являются дискретными аналогами обычной пары преобразований Фурье для непрерывных сигналов.

В настоящее время дискретный спектральный анализ является одним из наиболее распространенных методов исследования сигналов с помощью ЭВМ. В Приложениях дана программа на ФОРТРАНЕ для вычисления ДПФ.

Геометрическая трактовка дискретного гфеобразования Фурье.

Следует подчеркнуть, что МИП-сигнал вида (15.5) представляет собой лишь одну из возможных моделей дискретного сигнала. Такие модулированные последовательности естественно применять для описания импульсных колебаний АИМ или ШИМ. При обработке же радиотехнических сигналов с помощью вычислительных устройств дискретный сигнал выступает не как последовательность импульсов, а как упорядоченная последовательность чисел. Роль времени при этом играет целая переменная — номер соответствующего отсчета.

Дискретному преобразованию Фурье можно придать интересную и глубокую интерпретацию, если последовательность рассматривать как вектор в -мерном евклидовом пространстве. В таком пространстве имеется N линейно-независимых векторов

образующих базис, который будем называть естественным базисом. При этом очевидно, что

т. е. отсчетные значения х служат проекциями вектора х на соответствующие базисные векторы.

Поскольку рассматриваемое пространство является евклидовым, норма этого вектора

в то время как скалярное произведение двух векторов х и у вычисляется по формуле

Векторы х и у ортогональны, если (х, у) = 0.

Наряду с естественным базисом в N-мерном евклидовом пространстве можно ввести много других базисных систем.

Среди них особую роль играет базис Фурье, элементами которого служат векторы

(15.21)

Скалярное произведение элементов базиса Фурье

(15.22)

Здесь верхнее равенство очевидно; сумма обращается в нуль при , поскольку все слагаемые являются комплексными числами с единичным модулем и линейно нарастающим аргументом. При суммировании соответствующие векторы всегда образуют на комплексной плоскости правильный замкнутый многоугольник.

Итак, базис Фурье ортогонален, но не нормирован на единицу, поскольку

(15.23)

Найдем коэффициенты разложения некоторого вектора х по элементам базиса Фурье:

(15.24)

Для этого умножим обе части равенства (15.24) скалярно на базисный вектор с фиксированным номером :

Так как базис Фурье ортогонален, то в правой части отличным от нуля окажется лишь слагаемое с номером

откуда

что полностью совпадает с формулой (15.17), полученной на основе модели МИП-сигнала.

Алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Как видно из формулы (15.17) или (15,19), чтобы вычислить ДПФ или ОДПФ последовательности из N элементов, требуется выполнить операций с комплексными числами.

Если длины обрабатываемых массивов имеют порядок тысячи или более, то использовать эти алгоритмы дискретного спектрального анализа в реальном масштабе времени затруднительно из-за ограниченного быстродействия вычислительных устройств.

Выходом из положения явился алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), предложенный в 60-х годах. Существенно сократить число выполняемых операций здесь удается за счет того, что обработка входного массива сводится к нахождению ДПФ (или ОДПФ) массивов с меньшим числом членов.

Будем предполагать, и это существенно для метода БПФ, что число отсчетов где — целое число.

Разобьем входную последовательность на две части с четными и нечетными номерами:

и представим коэффициент ДПФ в виде

Непосредственно видно, что первая половина коэффициентов ДПФ исходного сигнала с номерами от 0 до выражается через коэффициенты ДПФ даух частных последовательностей:

Теперь учтем, что последовательности коэффициентов, относящихся к четной и нечетной частям входного массива, являются периодическими с периодом

Кроме того, входящий в формулу (15.26) множитель при можно преобразовать так:

Отсюда находим выражение для второй половины множества коэффициенте» ДПФ:

Формулы (15.26) и (15.27) лежат в основе алгоритма БПФ. Далее вычисления строят по итерационному принципу: последовательности отсчетов с четными и нечетными номерами вновь разбивают на две части. Процесс продолжают до тех пор, пока не получится последовательность, состоящая из единственного элемента. Легко видеть, что ДПФ этого элемента совпадает с ним самим.

Можно показать, что число операций, необходимых для вычисления БПФ, оценивается как

Дискретная свертка.

По аналогии с обычной сверткой двух сигналов

вводят дискретную свертку — сигнал, отсчеты которого связаны с отсчетами дискретных сигналов соотношением

(15.28)

Найдем связь между коэффициентами дискретной свертки и ДПФ сигналов Для этого выразим текущие значения отсчетов как ОДПФ от соответствующих спектров:

а затем подставим эти величины в формулу (15.38):

Изменив порядок суммирования, получим

(15.29)

Нетрудно заметить, что внутренняя сумма может быть вычислена на основании формулы (15.22), отображающей свойство ортогональности элементов базиса Фурье. Воспользовавшись этим, получаем

(15.30)

Поскольку формула (15.30) есть ОДПФ, приходим к выводу, что коэффициенты преобразования Фурье свертки являются произведениями коэффициентов ДПФ свертываемых сигналов:

(15.31)

Этот результат имеет большое значение в теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. Оказывается, что если сигналы достаточно длинны (например, содержат несколько тысяч отсчетов), то для вычисления свертки целесообразно вначале найти их ДПФ, перемножить коэффициенты, а затем воспользоваться формулой (15.30), применив алгоритм БПФ. Такой способ вычислений часто более экономичен, чем прямое использование формулы (15.28).