Результаты

- Спектральное представление сигнала представляет собой разложение его на сумму (конечную или бесконечную) элементарных гармонических сигналов с различными частотами.

- Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье, которые образуются суммированием, вообще говоря, бесконечного числа гармоник с частотами, кратными основной частоте повторения последовательности.

- Спектральное представление непериодических, в частности импульсных, сигналов осуществляется путем разложения их в интеграл Фурье.

- В частотной области непериодический сигнал характеризуется своей спектральной плотностью. Сигнал и его спектральная плотность взаимно связаны парой преобразований Фурье.

- ДАЯ существования спектральной плотности в классическом смысле необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем.

- Спектральная плотность неинтегрируемого сигнала содержит особенность типа дельта-функции.

- Переход к комплексной частоте в преобразовании Фурье приводит к новому виду линейных интегральных преобразований — преобразованию Лапласа. Сигналы, преобразуемые по Лапласу, должны обращаться в нуль при .

Вопросы

1. Почему простое гармоническое колебание играет особо важную роль в радиотехнике?

2. Дайте определение понятия периодического сигнала. Назовите несколько физических процессов, для которых модель периодического сигнала является достаточно точным способом описания.

3. Как определяется понятие угла отсечки гармонического колебания?

4. Как возникает понятие отрицательной частоты?

5. В чем заключается эффект когерентного сложения гармонических колебаний?

6. Какими свойствами обладает спектральная плотность вещественного сигнала?

7. Как принято определять длительность импульсных сигналов?

8. В чем состоит характерная особенность спектра дельта-импульса?

9. Как по известным спектральным плотностям двух сигналов вычислить их скалярное произведение?

10. Какова связь между длительностью импульса и шириной его спектра?

11. Как в частотной области отображаются операции дифференцирования и интегрирования сигнала?

12. Как связаны между собой спектральные плотности видеоимпульса и радиоимпульса?

13. Какой эффект оказывает «перекрытие» частотных областей в спектре радиоимпульса?

14. В чем смысл понятия комплексной частоты?

15. К каким сигналам можно применять метод преобразования Лапласа?

Задачи

1. Покажите, что ряд Фурье пилообразного колебания

имеет вид

2. Найдите амплитудный коэффициент 25-й гармоники пилообразного сигнала, если .

3. Покажите, что если периодическая последовательность образована повторением импульса с известной спектральной плотностью , то комплексная амплитуда члена ряда Фурье

где Т — период последовательности; — основная частота.

4. Дан двусторонний экспоненциальный видеоимпульс

Найдите его спектральную плотность. Определите длительность сигнала и ширину спектра. Оценив их, проверьте соотношение неопределенности.

5. Вычислите спектральную плотность экспоненциального видеоимпульса [см. (2.21)] с амплитудой 20 В и параметром на частоте

6. На какой частоте спектральная плотность импульса, рассмотренного в задаче 5, будет иметь фазовый угол

7. Убедитесь, что спектральная плотность одиночного косинусоидального импульса

выражается формулой

8. Имеется группа (пачка), состоящая из и одинаковых видеоимпульсов:

Покажите, что спектральная плотность этой группы

где — спектр одиночного импульса.

Указание. Воспользуйтесь формулой суммирования геометрической прогрессии:

9. Группа образована тремя одинаковыми дельта-импульсами:

Покажите, что частотная зависимость модуля спектральной плотности группы такова:

10. График импульсного сигнала, образованного отрезками гармонического колебания, приведен на рисунке:

Покажите, что спектральная плотность этого сигнала равна нулю как на нулевой частоте, так и на частоте высокочастотного заполнения. Как изменится спектр этого сигнала, если он приобретет такую форму:

11. Найдите сигнал, изображение которого

Более сложные задания

12. Пусть периодический сигнал описывается функцией времени, которая содержит скачкообразные изменения уровня (разрывы рода). Покажите, что коэффициент ряда Фурье такого сигнала с ростом их номера имеют асимптотику независимо от вида функции.

13. В условиях предыдущей задачи рассмотрите сигнал, у которого разрывы испытывает первая производная, а значение функции непрерывно. Покажите, что в этом случае асимптотика коэффициентов ряда Фурье шеет вид

14. Обсудите следующий «парадокс»: если некоторое время замкнуть коммутатор I цепи то на нагрузке будет наблюдаться прямоугольный импульс

Этот импульс складывается из гармонических составляющих, существующих во все моменты времени, в том числе и до начала импульса. Как это согласуется с предположением, что импульс может и не быть создан, хотя гармонические составляющие уже существуют?

15. Покажите, что спектральная плотность -функции, будучи подставленной в обратное преобразование Фурье, обеспечивает при значение сигнала , равное

Указание. Считая частоту комплексной переменной, вычислите интеграл

методами теории вычетов.