16.2. Оптимальная линейная фильтрация сигналов известной формы

Частотно-избирательную систему, выполняющую обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом, называют оптимальным линейным фильтром.

Проблема оптимальной обработки суммы известного по форме сигнала и шума возникает, например, в радиолокации. Здесь принятый полезный сигнал есть точная масштабная копия переданного сигнала , т. е.

(16.14)

причем постоянное число .

Амплитуда принятого сигнала может оказаться весьма малой и сопоставимой с эффективным напряжением шума, действующего на входе приемника.

Приемное устройство радиолокатора выполняет следующие операции:

а) обнаруживает сигнал, т. е. устанавливает сам факт присутствия отраженного сигнала в принятом колебании;

б) измеряет время задержки , пропорциональное расстоянию до цели.

При работе радиолокационной системы не требуется сохранять форму полезного сигнала. Более того, в процессе обработки желательно трансформировать полезный сигнал таким образом, чтобы подача его на вход фильтра приводила в некоторый момент времени к значительному «всплеску» мгновенных значений выходного колебания. Шумовой сигнал, будучи, как правило, гауссовым, характеризуется малой вероятностью больших выбросов. Поэтому если выходной сигнал в некоторые моменты времени существенно превосходит эффективное напряжение шума, то это с большой вероятностью свидетельствует о присутствии полезного сигнала на входе приемника.

Согласованный линейный фильтр.

Пусть системой, осуществляющей обработку суммы сигнала и шума, является стационарный линейный фильтр с импульсной характеристикой . Детерминированный полезный сигнал создает на выходе фильтра отклик

Зафиксируем некоторый, пока произвольный момент времени и постараемся так выбрать функцию чтобы величина достигала максимально возможного значения. Если такая функция действительно существует, то отвечающий ей линейный фильтр называют фильтром, согласованным с заданным входным сигналом или согласованным фильтром.

Итак, пусть

(16.15)

— отклик на выходе фильтра, подлежащий максимизации по модулю. На основании неравенства Коши — Буняковского

(16.16)

Знак равенства имеет место тогда, когда сомножители в подынтегральном выражении пропорциональны друг другу:

где к — произвольный коэффициент.

Выполнив формальную замену переменной отсюда получаем

(16.18)

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала, которая, однако, располагается в зеркальном порядке вдоль оси времени [об этом говорит отрицательный знак при t в формуле (16.18)]. Помимо этого импульсная характеристика согласованного фильтра смещена относительно сигнала ) на отрезок

Рис. 16.1 иллюстрирует принцип построения функции Лсогп применительно к некоторому импульсному сигналу длительностью возникающему при

Рис. 16.1. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра

Анализируя построение, приведенное на рис. 16.1, можно сформулировать необходимое (но не достаточное) условие физической реализуемости согласованного фильтра: промежуток времени между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого импульса. В противном случае импульсная характеристика системы была бы отличной от нуля при t < 0, т. е. до момента поступления дельта-импульса на вход фильтра.

Смысл этого условия таков: для создания максимально возможного мгновенного значения сигнала на выходе согласованный фильтр должен предварительно провести обработку всего входного сигнала.

Согласованный фильтр как коррелятор.

Пусть — некоторый входной сигнал, в общем случае не совпадающий с сигналом по отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным. Отклик фильтра на данное входное воздействие

(16.19)

Легко заметить, что последний интеграл представляет собой взаимокорреляционную функцию сигналов (см. гл. 3), т. е.

(16.20)

В момент времени мгновенное значение выходного сигнала с точностью до коэффициента пропорциональности оказывается равным скалярному произведению обоих сигналов:

(16.21)

Рис. 16.2. Построение сигнала да выходе фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом: а — сигнал на входе; б — его автокорреляционная функция; в — сигнал на выходе для случая, когда максимум выходного колебания достигается в мойент окончания импульса на входе

Предположим теперь, что , т. е. на входе фильтра присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован. формулы (16.20) следует, что в этом случае

(16.22)

т. е. выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой во времени на отрезок . В качестве примера на рис. 16.2 изображено построение сигнала на выходе конкретного согласованного фильтра.

Частотный коэффициент передачи согласованного фильтра.

Поскольку импульсная характеристика и частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье, на основании формулы (16.18)

Введя новую переменную интегрирования отсюда получаем

(16.24)

Последнюю формулу можно записать следующим образом:

(16.25)

Итак, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала, для выделения которого этот фильтр предназначен. Множитель пропорциональности к в формуле (16.25) определяет уровень усиления, вносимого, фильтром.

Значение момента времени входит лишь в выражение фазовой характеристики фильтра. При этом сомножитель описывает смещение выходного отклика фильтра по оси времени на величину

Физическая интерпретация частотного коэффициента передачи согласованного фильтра.

Фильтр, выделяющий известный сигнал из смеси с шумом, должен с малым ослаблением пропускать гармонические колебания, частоты которых отвечают лишь тем участкам спектра, где спектральная плотность полезного сигнала отлична от нуля. При этом, естественно, модуль частотного коэффициента передачи должен быть пропорционален модулю спектральной плотности сигнала, т. е. тому вкладу в выходной сигнал, который вносится каждым малым участком на оси частот. Если спектр полезного сигнала имеет дискретную структуру (например, сигнал является периодическим), то данный принцип приводит к фильтрам с гребенчатой формой АЧХ, широко применяемым в радиотехнике.

Согласованный фильтр действует подобно гребенчатому фильтру. Однако здесь удается добиться еще большей эффективности обнаружения сигнала путем использования свойств фазового спектра. Действительно, сигнал на выходе согласованного фильтра [см. формулу (16.22)] достигает максимума

(16.26)

— энергия выделяемого сигнала) в момент времени когда все элементарные составляющие спектра входного колебания складываются на выходе когерентно, имея одни и те же фазовые сдвиги.

Таким образом, эффект согласованной фильтрации связан с коррекцией фазовых сдвигов между отдельными спектральными составляющими выделяемого сигнала.

Прохождение суммы сигнала и шума через согласованный фильтр.

Рассмотрим случай, когда на входе фильтра, согласованного с некоторым известным сигналом , присутствует сумма этого сигнала и стационарного белого гауссова шума характеризуемого двусторонней плотностью спектра мощности Согласованный фильтр, будучи линейной стационарной системой, обрабатывает сигнал и шум независимо друг от друга.

Условимся характеризовать эффективность действия фильтра отношением сигнал/шум на выходе

(16.27)

равным отношению пикового значения мощности полезного сигнала в момент максимального отклика к средней мощности выходного шума.

Числитель этой дроби определяется выражением (16.26). Дисперсия шума на выходе фильтра

на основании (16.25) не зависит от формы частотного коэффициента передачи фильтра, а определяется спектром мощности входного шума и энергией сигнала на входе

(16.29)

С учетом выражений (16.26) и (16.29) приходим к выводу, что отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра

Поскольку числитель в формуле (16.27) представляет собой предельно достижимый отклик, ясно, что согласованная фильтрация обеспечивает максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе системы.

По этой причине согласованный фильтр является оптимальным фильтром, выделяющим известный сигнал из смеси с белым гауссовым шумом при максимально возможном отношении сигнал/шум.

Пример 16.3. Полезный сигнал представляет собой прямоугольный радишмпульс с некоторой амплитудой и длительностью Белый шум на входе фильтра характеризуется спектральной плотностью мощности Определить минимальное значение при котором возможно надежное обнаружение этого сигнала, если приемник уверенно индицирует присутствие сигнала при отношении сигнал/шум 2 дБ.

Требуемую величину бвых найдем из условия бвых откуда . Так как энергия прямоугольного радиоимпульса то

Замечательная особенность согласованного фильтра состоит в том, что возможность обнаружения сигнала оказывается зависящей от его энергии, а не от формы. В частности, всегда можно добиться надежного обнаружения сигнала малой амплитуды, если соответствующим образом увеличивать длительность импульса. Однако при этом, естественно, будет снижаться скорость передачи информации по радиоканалу.