1.3. Геометрические методы в теории сигналов

При решении многих теоретических и прикладных задач радиотехники возникают такие вопросы: 1) в каком смысле можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, что один сигнал значительно превосходит другой; 2) можно ли объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала «похожи» друг на друга?

В XX в. был создан функциональный анализ — раздел математики, обобщающий наши интуитивные представления о геометрической структуре пространства. Оказалось, что нден функционального анализа дают возможность создать стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как вектора в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Линейное пространство сигналов. Пусть множество сигналов. Причина объединения этихобъектов наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества М.

Пример 1.4, Множество М образовано всевозможными аналоговыми сигналами, отличными от нуля на интервале времени (0,15 мкс) и равными нулю вне этого интервала.

Пример 1.5. Множество М состоит из сигналов вида — гармонических колебаний, отличающихся своими амплитудами, частотами и начальными фазами.

Исследование свойств сигналов, образующих такие множества, становится особенно плодотворным тогда, когда удается выражать одни элементы множества через другие элементы. Принято говорить, что множество сигналов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной структуры должен быть продиктован физическими соображениями. Так, применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут складываться, а гакже умножаться на произвольный масштвбный коэффициент. Это дает возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов М образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых t принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых существует их сумма причем w также содержится в М. Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна:

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа а определен сигнал .

4. Множество М содержит особый нулевой элемент , такой, что для всех .

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства.

Введение структуры линейного пространства является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств часто называют векторами, подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов.

Ограничения, налагаемые аксиомами линейного пространства, весьма жестки. Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.

Пример 1.6. Множество М состоит из всевозможных прямоугольных видеоимпульсов напряжения, существующих на интервале времени (0, 20 мкс), причем амплитуды импульсов не превышают 10 В.

Сложив, например, импульсы с амплитудами 6 и 8 В, получаем нмпульс, не принадлежащий множеству М. Поэтому М не есть линейное пространство.

Понятие координатного базиса.

Как и в обычном трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей.

Говорят, что совокупность векторов , принадлежащих М, является линейно независимои, если равенство

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов а.

Система линейно независимых векторов образует координатной базис в линейном пространстве. Если дано разложение некоторого сигнала в виде

то числа являются проекциями сигнала s(t) относительно выбранного базиса.

В задачах теории сигналов число базисных векторов, как правило, неограниченно велико. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. Естественно, что теория этих пространств не может быть вложена в формальную схему линейной алгебры, где число базисных векторов всегда конечно.

Пример 1.7. Линейное пространство образовано сигналами, которые описываются многочленами неограниченно высокого порядка:

(такие функции называются аналитическими).

Координатным базисом в этом пространстве служит система одночленов

Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала.

Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», но и указвть, на сколько он больше.

Длину вектора в математике называют его нормой. Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число — норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства:

1. Норма неотрицательна, т. е. Норма тогда и только тогда, если

2. Для любого числа а справедливо равенство

3. Если и — два вектора из L, то выполняется неравенство треугольника:

- Можно предложить разные способы введения нормы сигналов. В радиотехнике чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма

где — символ комплексно-сопряженной величины.

Квадрат нормы носит название энергии сигнала

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение s(t).

Пример 1.8. Сигнал s(t) представляет собой треугольный импульс напряжения с амплитудой U и длительностью Вычислить энергию и норму такого сигнала.

На интервале времени сигнал описывается функцией

Энергия сигнала

Норма сигнала

Пример 1.9. Вычислить энергию радиоимпульса с прямоугольной формой огибающей. Импульс существует на интервале времени и описывается функцией соответствии с формулой (1.16)

Выполнив интегрирование, получаем

Если внутри импульса содержится много периодов высокочастотного заполнения, так что , то независимо от выбора параметров

Определять норму сигнала с помощью формулы (1.15) целесообразно по следующим причинам:

1. В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного энергетическог о эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе.

2. Энергетическая норма оказывается «нечувствительной» к изменениям формы сигнала, может быть, и значительным, но происходящим на коротких отрезках времени.

Линейное нормированное пространство с конечной величиной нормы вида (1-15) носит название пространства функций с интегрируемым квадратом и кратко обозначается .

Метрическое пространство.

Теперь необходима ввести еще одно фундаментальное понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве.

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов , сопоставлено неотрицательное число называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами. Метрика, независимо от способа ее определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

1. (рефлексивность метрики).

2. при любых .

3. Каков бы ни был элемент всегда

Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

Норму, в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом Зная метрику, можно судить, например, о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует другой.

Пример 1.10. Сигналу представляет собой отрезок синусоиды, обращающейся в нуль на, концах отрезка . Высота импульса V известна. Выбрать амтитуду А прямоугольного импульса том же длительности так, чтобы расстояние между этими двумя сигналами было минимальным.

Сигнал представляется формулой

Квадрат расстояния между сигналами

Проведя интегрирование, имеем

Исследуя это выражение на экстремум, убеждаемся, что минимум расстояния будет достигнут, если При этом

Заметим, что энергия синусоидального импульса

его норма

Итак, при выбранной метрике минимально достижимое расстояние между рассматриваемыми сигналами составляет 44% от нормы синусоидального импульса.