1.2. Динамическое представление сигналов

Многие задачи радиотехники, например вычисление отклика физической системы на известное входное воздействие, требуют специфической формы представления сигналов. Необходимо не только располагать информацией о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси как «в прошлом», так и в «будущем».

Принцип динамического представления.

Способ получения таких моделей сигналов состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Если теперь устремить к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то, естественно, в пределе будет получено точное представление исходного сигнала. Будем называть этот способ описания сигналов динамическим представлением, подчеркивая этим развивающийся во времени характер процесса.

Широкое применение нашли два способа динамического представления, Согласно первому из них в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени (рис. 1.3, а). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени .

При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.3, б).

Рис. 1.3. Способы динамического представления сигналов (стрелками показаны пути изменения во времени отдельных элементарных слагаемых)

Рассмотрим свойства элементарного сигнала, используемого для динамического представления по первому способу.

Функция включения.

Пусть дан сигнал, математическая модель которого задается системой равенства:

Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из «нулевого» в «единичное» состояние. Переход совершается по линейному закону за время Если параметр устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет совершаться мгновенно. Математическая модель этого предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда:

В общем случае функция включения, может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину Запись смещенной функции такова:

Приведенный здесь способ определения функции включения не является единственно возможным. Например, функции, образующие последовательность

как нетрудно проверить, с ростом номера все более точно аппроксимируют разрывный сигнал, претерпевающий скачок на единицу при

В теоретической радиотехнике функции включения широко используются для описания разрывных, в частности, импульсных сигналов. Часто это можно сделать из очевидных соображений, не прибегая к общей методике динамического представления.

Пример 1.1. Импульсный сигнал v прямоугольной формы имеет длительность 5 мкс и амплитуду 15 В. Начало отсчета времени совпадает с фронтом импульса. Записать аналитическое выражение этого сигнала.

Эффект скачка уровня при описывается функцией Для того чтобы импульс окончился при с, необходимо вычесть такой же импульс включения, запаздывающий на этот отрезок времени. Окончательно

Пример 1.2. Источник ЭДС, линейно изменяющейся во времени по закону , подключается к внешним цепям идеальным коммутатором, который срабатывает в момент времени Записать математическую модель напряжения на выходе такого устройства.

При временах, меньших 2 мкс, напряжение на выходе источника равио нулю, поэтому очевидно, что

Этот процесс можно зависать и по-иному, представив его как сумму импульса включения амплитудой 6 В, возникающего в момент срабатывания коммутатора, и линейно нарастающего импульса:

Динамическое представление произвольного сигнала посредством функций включения.

Рассмотрим некоторый сигнал s(t), причем для определенности положим, что при . Пусть — последовательность моментов времени и — отвечающая им последовательность значений сигнала. Если — начальное значение, то, как видно из построения, текущее значение сигнала при любом t приближенно равно сумме ступенчатых функций:

Если теперь шаг устремить к нулю, то дискретную переменную можно заменить непрерывной переменной . При этом малые приращения превращаются в дифференциалы и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда:

Пример 1.3. Сигнал s(t) равен нулю при t < 0 и изменяется по закону квадратичной параболы при t > 0. Найти динамическое представление этого сигнала.

Здесь , поэтому

В соответствии с последней формулой высота элементарных ступеней, из которых складывается сигнал, линейно нарастает во времени.

Переходя ко второму способу динамического представления сигнала, когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие.

Дельта-функция.

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом:

При любом выборе параметра площадь этого импульса равна единице:

Например, если v — напряжение, то

Пусть теперь величина , стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при носит название дельта-функции, или функции Дирака:

Дельта-функция — интересный математический объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением точки (принято говорить, что она сосредоточена в этой точке), дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом

В нашем курсе будет постоянно использоваться аппарат дельта-функций. Основная причина, делающая дельта-функцию столь удобной в физических задачах, состоит в следующем. Напомним известное положение механики: если на материальную точку массой в интервале времени действует переменная шла F(t), то изменение количества движения точки

Таким образом, существенно важна не сама сила, а ее импульс, фигурирующий в правой части последнего равенства. Дельта-функция как раз и является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью).

В математике показано, что свойства дельта-функцин присущи пределам многих последовательностей обычных классических функций. Приведем два характерных примера:

Динамическое представление сигнала посредством дельтафункций.

Вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (см. рис. 1.3, б). Если — значение сигнала на отсчете, то элементарный импульс с номером к представляется так:

(1.10)

В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых:

В этой сумме отличным от нуля будет только один член, отвечающий тому номеру к, который удовлетворяет неравенству

Если подставить (1.10) в (1.11), предварительно разделив и умножив на величину шага , то

Переходя к пределу при необходимо заменить суммирование интегрированием по формальной переменной дифференциал которой будет отвечать величине .

Поскольку

получим искомую формулу динамического представления сигнала

Можно усмотреть важное свойство дельта-функции: ее физическая размерность такая же, как и размерность частоты, т. е.

Итак, если непрерывную функцию умножить на дельтафункцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен -импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.

Отсюда вытекает структурная схема системы, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала . Система состоит из двух звеньев: перемножителя и интегратора. Ясно, что измерение величины будет тем точнее, чем короче тот реальный сигнал (например, прямоугольный видеоимпульс), который приближенно представляет дельта-функцию.

Обобщенные функции как математические модели сигналов.

В классической математике полагают, что функция должна принимать какие-то значения в каждой точке оси t. Однако рассмотренная функция не вписывается в эти рамки — ее значение при определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Очевидна необходимость расширить само понятие функции как математической модели сигнала. Современная математика преодолела эту трудность, введя принципиально новое понятие обобщенной функции.

В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Держа в руках и рассматривая какой-нибудь предмет, мы его поворачиваем, стремясь получить множество проекций этого объекта на всевозможные плоскости. Аналогом «проекции» исследуемой функции может служить, например, значение интеграла

при известной функции , которую называют пробнай функцией.

Каждой функции отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение . Поэтому говорят, что формула (1.13) задает некоторый функционал на множестве пробных функций Непосредственно видно, что данный функционал линеен, т. е.

Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций задана обобщенная функция . Подчеркнем, что интеграл в правой части выражения (1-13) нужно понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм. Именно с таких позиций следует рассматривать формулу динамического представления (1.12):

Обобщенные функции, даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать. Для этого следует принять во внимание, что пробные функции являются финитными, т. е. обращаются в нуль вне конечного отрезка . Тогда производная обобщенной функции задается функционалом

В качестве примера найдем производную функции Хевисайда , рассматривая последнюю как обобщенную функцию. Здесь

Поэтому

причем это равенство необходимо понимать именно в смысле теории обобщенных функций, поскольку в. классическом смысле производная при просто не существует.

Таким же образом можно определить производную дельта-функции:

Хотя явная формула для отсутствует, такой математический объект существует и действует по правилу — каждой классической функции он сопоставляет числовое значение ее производной в нуле с точностью до знака.

В настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.