9.3. Частотно-избирательные цепи при узкополосных входных воздействиях

В типичной ситуации, например в случае приема модулированных сигналов, на вход частотно-избирательиого линейного фильтра подается полезный сигнал, спектральная плотность которого имеет четко выраженный максимум в пределах полосы пропускания цепи. При этом, как правило, резонансная частота колебательной системы совпадает с частотой несущего колебания (симметричная настройка).

Если спектр входного радиосигнала был бы строго ограничен областью частот, в пределах которой частотный коэффициент передачи фильтра неизменен, то выходной сигнал являлся бы просто масштабной копией входного воздействия. Однако неизбежная неидеальность АЧХ и ФЧХ частотно-избирательной системы ведет к искажениям формы выходного сигнала.

Ниже излагается метод, позволяющий находить выходные отклики частотно-избирательных цепей, возбуждаемых узкополосными колебаниями.

Основные соотношения.

Рассмотрим произвольную узкополосную цепь, частотный коэффициент передачи которой существенно отличен от нуля лишь в окрестностях точек на оси частот. Предположим, что входным сигналом служит узкополосное (квазигармоническое) колебание с центральной частотой спектра Это означает, что в формуле

комплексная огибающая является гораздо более медленной функцией, чем колебание Обозначим соответствие между сигналами и их спектрами: причем (см. гл. 5) спектры входного сигнала и его комплексной огибающей связаны таким образом:

Отсюда, используя спектральный метод анализа линейных цепей, получаем следующее выражение для выходного сигнала:

Выполнив в первом интеграле замену переменной преобразуем его:

Аналогично, используя подстановку преобразуем второй интеграл в (9.41):

Заметим, что правые части выражений (9.42) и (9.43) являются комплексно-сопряженными. Кроме того, величина на основании (9.24) служит частотным коэффициентом передачи НЧ-эквивалента узкополосной цепи. Поэтому

Отсюда видно, что комплексной огибающей выходного сигнала соответствует выражение

Итак, комплексная огибающая выходного сигнала представляет собой медленно меняющееся во времени колебание со спектральной плотностью

Чтобы решить задачу о прохождении узкополосного сигнала через частотно-избирательную систему, следует вначале найти результат воздействия входной комплексной огибающей на НЧ-эквивалент исходной системы, а затем перейти к физическому выходному сигналу

Равенство (9.44) соответствует спектральному методу нахождения сигнала на выходе системы. В равной мере могут быть использованы и другие известные методы, например операторный метод, а также метод интеграла Дюамеля, согласно которому

где — импульсная характеристика НЧ-эквивалента.

Воздействие АМ-сигнала на одноконтурный резонансный усилитель.

В качестве первого примера рассмотрим задачу о прохождении однотонального АМ-колебания через одноконтурный резонансный усилитель с частотным коэффициентом передачи

Сделаем упрощающее допущение — будем считать, что резонансная частота и частота несущего колебания совпадают. Взяв эту частоту в качестве опорной, получим комплексную огибающую входного сигнала

Частотный коэффициент передачи НЧ-эквивалента усилителя

Выходную комплексную огибающую можно найти из (9.48) и (9.49), применив обычный метод комплексных амплитуд, известный из теории цепей:

где фазовый сдвиг

Применив формулу (9.46) и приняв во внимание, что постоянная времени контура находим сигнал на выходе усилителя:

где обобщенная расстройка колебательного контура на верхней боковой частоте.

Таким образом, на выходе резонансного усилителя существует колебание, которое, будучи усиленным по амплитуде, по-прежнему является однотональным АМ-сигналом. Однако коэффициент модуляции на выходе меньше, чем на входе:

Кроме того, огибающая на выходе запаздывает относительно огибающей входного сигнала на время

Пример 9.6. AM-сигнал с параметрами проходит через усилитель, настроенный на несущую частоту. Контур усилителя имеет эквивалентную добротность Найти величины

В этом случае — откуда по формуле (9.51) находим

Итак, наблюдается ощутимое снижение глубины модуляции.

Поскольку , задержка огибающей составит

Воздействие на резонансный усилитель импульса включения гармонической ЭДС.

Во многих радиотехнических системах (радиолокационных, системах многоканальной связи) полезная информация передается с помощью последовательностей прямоугольных радиоимпульсов. Проходя через резонансные частотно-избирательные системы, являющиеся неотъемлемыми частями радиоприемных устройств, такие импульсы несколько искажаются. Чтобы оценить степень этих нежелательных искажений, решим задачу о сигнале на выходе одноконтурного резонансного усилителя с частотным коэффициентом передачи (9.12) при условии, что на входе действует сигнал .

Пусть усилитель настроен на несущую частоту, т. е. юрез Тогда, выбирая эту частоту в качестве опорной, получим следующее выражение для комплексной огибающей:

Задача о воздействии сигнала (9.52) на линейную систему с коэффициентом передачи вида (9.49) была рассмотрена в гл. 8 при изучении переходной характеристики RС-цепи. Поэтому можно воспользоваться известным результатом и записать

Тогда выходной сигнал усилителя

Рис. 9.7. Процесс установления холебаний на выходе резонансного усилителя, настроенного на частоту сигнала

График, построенный по формуле (9.54), представлен на рис. 9.7.

Текущая амплитуда выходного сигнала достигает уровня 0.9 от стационарного значения за время установления

Влияние расстройки.

Рассмотрим предыдущую задачу в более общей постановке, предположив, что частота заполнения входного сигнала отличается от резонансной частоты контура на величину При этом

Сигнал на выходе НЧ-эквивалента одноконтурного резонансного усилителя проще всего найти, воспользовавшись интегралом Дюамеля, в который следует подставить выражение импульсной характеристики НЧ-эквивалента:

По формуле (9.47) находим

Физическая огибающая процесса на выходе равна модулю выходной комплексной огибающей:

На рис. 9.8 изображены кривые, построенные по формуле (9.58) при различных значениях безразмерного произведения

Рис. 9.8. Процесс установления огибающей в резонансном усилителе при наличии расстройки: 1 - при ; 2 - при

Таким образом, расстройка между резонансной частотой колебательной системы и частотой гармонического заполнения входного импульса приводит к немонотонному изменению огибающей сигнала на выходе. Физическое объяснение этого факта таково: выходной сигнал усилителя складывается из вынужденных колебаний, имеющих частоту внешнего источника, и экспоненциально затухающих во времени свободных колебаний с частотой, равной резонансной частоте контура. Пользуясь языком метода комплексных амплитуд, можно сказать, что вектор вращается с разностной частотой относительно вектора . Огибающая выходного сигнала, пропорциональная длине суммарного вектора оказывается переменной во времени, стремясь в пределе к амплитуде вынужденных колебаний.

Поскольку вектор с течением времени изменяет свое положение на плоскости, во время переходного процесса непостоянной оказывается и мгновенная частота выходного сигнала.

Использув формулу (9.57), на основании принципа вычисления мгновенной частоты, изложенного в гл. 5, имеем

Можно заметить, что при , когда переходный процесс в усилителе практически закончится, частоты сигналов на входе и выходе становятся одинаковыми.

Воздействие фазоманнпулированных сигналов на резонансный усилитель.

Как уже упоминалось, в современной радиотехнике часто применяются сигналы, представляющие собой отрезки гармонических колебаний, начальная фаза которых изменяется скачками в дискретные моменты времени. Подобные сигналы называют фазоманипулированными колебаниями.

Изучая прохождение таких сигналов через частотноизбирательные цепи, рассмотрим модельную задачу об одноконтурном резонансном усилителе, на входе которого действует сигнал со скачкообразным изменением фазы на радиан при

Этому сигналу отвечает комплексная огибающая

Используя метод интеграла Дюамеля, находим комплексную огибающую на выходе:

При из формулы (9.62) следует, что

т. е. до момента скачка фазы усилитель находится в стационарном режиме гармонического возбуждения. Если же то

Рис. 9.9. Огибающая сигнала на выходе резонансного усилителя, возбуждаемого фазоманипулированным сигналом: 1 - при ; 2 - при

Отметим, что при выражения (9.63) и (9.64) дают одинаковый результат: Если то т. е. по окончании переходного процесса система переходит в новое стационарное состояние, которое отличается от исходного фазовым сдвигом на радиан.

Вычисляя модуль комплексной огибающей, находим выражение для физической огибающей выходного сигнала при t > 0:

На практике часто используют сигналы с фазовой манипуляцией на 180°. В этом частном случае

Здесь амплитуда выходного сигнала становится равной нулю в момент времени являющийся корнем уравнения

откуда

Рис. 9.9 иллюстрирует зависимость физической огибающей выходного сигнала от безразмерного параметра г/тк при двух значениях фазового сдвига и 90°.

Для проектирования приемников фазоманипулированных сигналов первостепенный интерес представляет закон изменения мгновенной фазы на выходе усилителя. Записывая выходную комплексную огибающую в форме из формулы (9.64) имеем следующее выражение мгновенной фазы (рад):

Рис. 9.10. Зависимость мгновенной фазы сигнала на выходе усилителя от безразмерного параметра

Первое слагаемое в правой части дает постоянный фазовый сдвиг, не играющий принципиальной роли. На рис. 9.10 изображены кривые, описывающие зависимость переменной части мгновенной фазы от безразмерного времени

Случай 180° является вырожденным; здесь фаза выходного сигнала изменяется скачком в момент времени [см. формулу (9.67)]. При прочих значениях фаза сигнала на выходе изменяется во времени непрерывно.

Воздействие колебания со скачком частоты на резонансную систему.

В ряде случаев для передачи сообщений используют сигналы, представляющие собой гармонические колебания с различными частотами. Если частота заполнения изменяется скачком, говорят о частотной манипуляции сигнала.

Рассмотрим одноконтурный резонансный усилитель, на вход которого подан сигнал вида

Если считать, что опорная частота равна

Ясно, что при усилитель находится в стационарном режиме и [см формулу (9.63)]. Исследуя процесс на выходе при в интеграле Дюамеля (9.47) следует по отдельности учесть вклады от полубесконечного интервала времени и от ограниченного отрезка

где — формальная переменная интегрирования; — безразмерный параметр, характеризующий отношение частот ной расстройки к полосе пропускания контура.

Рис. 9.11. Процесс установления физической огибающей сигнала на выходе усилителя после скачка частоты при различных параметрах : 1 - при ; 2 - при ; 3 - при

Интегрируя по находим, что

Отсюда физическая огибающая выходного сигнала при

Соответствующие графики изображены на рис. 9.11. Определенный практический интерес представляет характер изменения мгновенной частоты колебаний на выходе резонансного усилителя во время переходного процесса. Здесь следует воспользоваться общей формулой (5.35), которая выражает мгновенную частоту узкополосного сигнала через синфазную и квадратурную амплитуды. В рассматриваемом случае где, как это следует из (9.70),

Проделав несколько громоздкие, но вполне элементарные выкладки, получаем

Рис. 9.12. Процесс установления мгновенной частоты на выходе резонансного усилителя:

1 — при ; 2 — при ; 3 — при

На рис. 9.12 представлены три кривые, рассчитанные по этой формуле при различных параметрах По оси ординат отложена относительная величина мгновенного частотного отклонения.

Если то рассматриваемая величина с течением времени стремится к установившемуся значению, равному единице, вполне монотонно. При увеличении параметра b переходный процесс приобретает более сложный характер.

Воздействие сигнала с однотональной угловой модуляцией на одноконтурную резонансную систему.

Предположим, что последовательный -контур находится под воздействием источника ЭДС, создающего входной сигнал с однотональной ЧМ- или ФМ-модуляцией. Будем считать, что резонансная частота контура сорез и частота несущего колебания совпадают. Выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе . Требуется найти законы изменения во времени физической огибающей и мгновенной частоты швых выходного сигнала.

Развитый выше метод НЧ-эквивалента не позволяет решить поставленную задачу. Дело в том, что подстановка комплексной огибающей в формулу (9.47) приводит к интегралу с переменным верхним пределом. Вычислить такой интеграл не представляется возможным.

Поэтому обратимся непосредственно к дифференциальному уравнению данной цепи, которое, будучи записанным относительно неизвестного принимает вид

где — коэффициент затухания контура.

Перейдем к безразмерному времени такому, что Тогда уравнение (9.74) преобразуется следующим образом:

Введем два безразмерных параметра:

Тогда

Для того чтобы найти интересующие нас характеристики выходного колебания, необходимо получить частное решение этого неоднородного дифференциального уравнения в бесконечном интервале —

Метод медленно меняющихся амплитуд.

С точки зрения радиотехнических приложений основной интерес представляет случай, когда затухание контура мало, т. е. добротность , а значит, параметр . Из физических соображений ясно, что любые колебания в такой системе, как свободные, так и вынужденные, должны быть квазигармоническими. Поэтому будем искать решение уравнения (9.77) в виде [ср. с формулой (5.25)]

где — неизвестные пока синфазная и квадратурная амплитуды, изменяющиеся гораздо медленнее, чем или

Более точно условие медленного изменения амплитуд означает, что

Подставляя выражение (9.78) в уравнение (9.77) и приравнивая коэффициенты при в обеих частях, получаем систему даух дифференциальных уравнений относительно неизвестных и :

Обратим внимание на то, что здесь слагаемые в левых частях имеют разные порядки малости. Так, например, величины и в первом уравнении имеют порядок в то время — порядок .

Пренебрегая в (9.80) всеми малыми величинами порядка получаем два укороченных дифференциальных уравнения:

Очевидно, эти уравнения 1-го порядка значительно проще, чем строгие исходные уравнения (9.80). К тому же здесь каждой неизвестной функции отвечает свое собственное уравнение.

Такой подход к решению задачи о колебаниях в системе с малым затуханием является частным случаем метода медленно меняющихся амплитуд. Этот метод предложил в 20-х годах известный голландский радиофизик Ван-дер-Поль.

Сделаем еще одно допущение: будем считать, что , т. е. глубина угловой модуляции на входе невелика. Тогда, поступая так же, как в гл. 4, получаем упрощенную форму укороченных уравнений:

Стационарным решением первого уравнения (9.82) служит, очевидно, постоянная величина

Второе уравнение (9.82) можно решить элементарной подстановкой Найдя неизвестные постоянные с и b, получаем

Огибающая и мгновенная частота выходного сигнала.

На основании формулы (9.78) находим физическую огибающую выходного сигнала как функцию времени:

Данное выражение можно существенно упростить, приняв во внимание, что по предположению Тогда, ограничившись даумя членами разложения радикала в степенной ряд, получим приближенное выражение огибающей

Из этой формулы следует, что при воздействии на колебательный контур сигнала с угловой модуляцией выходное колебание оказывается промоделированным по амплитуде; низкая частота модуляции амплитуды в два раза превышает частоту однотональиой угловой модуляции на входе.

Полученное решение укороченных дифференциальных уравнений дает возможность ответить на основной допрос о влиянии колебательной системы на мгновенную частоту выходного сигнала. Учтем, что синфазная амплитуда А мала по сравнению с неизменной во времени квадратурной амплитудой В [см. формулы (9.83), (9.84)]. Тогда

где

Итак, за счет инерционности контура наблюдается уменьшение девиации частоты на выходе по сравнению с девиацией на входе:

где — постоянная времени контура.

К тому же функция, описывающая закон угловой модуляции выходного сигнала, оказывается смещенной во времени относительно входной модулирующей функции.

Роль фазовой характеристики цепи.

Заканчивая изучение свойств и характеристик линейных узкополосных цепей, возбуждаемых детерминированными сигналами, рассмотрим вопрос о том, какое влияние на выходной сигнал оказывает ФЧХ системы

Чтобы изучить принципиальную сторону явлений, обратимся к случаю, когда на вход системы подается сумма двух гармонических сигналов единичной амплитуды с частотами относительная разность между которыми мала:

Аналитическая форма записи входного сигнала такова:

Энергия суммарного процесса локализуется во времени в виде отдельных «порций», носящих название узкополосных или квазигармонических групп. Чем меньше частотный промежуток между составляющими, тем больше степень растянутости этих групп во времени. Низкочастотный сомножитель в формуле (9.88) является огибающей группы. Узкополосную группу можно рассматривать как простейший элемент, из которых складывается колебание с более сложным спектральным составом.

Пусть сигнал вида (9.88) проходит через линейную стационарную систему с частотным коэффициентом передачи

Предположим, что в пределах частотного интервала модуль коэффициента передачи можно считать постоянной величиной Тогда

ФЧХ системы можно разложить в ряд Тейлора относительно точки

Удерживая в этом разложении только член, линейный относительно будем иметь

Отсюда непосредственно видно, что огибающая квазигармонической группы на выходе системы смещена во времени относительно огибающей входного сигнала на величину, равную по абсолютному значению Если эта производная отрицательна, то огибающая выходного сигнала запаздывает на время

называемое групповым временем запаздывания. Производная вычисляется в некоторой произвольной точке частотного интервала, где сконцентрирована энергия узкополосного сигнала.

Групповое время запаздывания служит удобной характеристикой для оценки задержки узкополосных сигналов в инерционных линейных цепях.

Пример 9.7. Прямоугольный радиоимпульс с длительностью и с частотой заполнения подается на вход одноконтурного резонансного усилителя, настроенного на частоту заполнения импульса. Эквивалентная добротность колебательной системы Оценить время запаздывания выходного импульса относительно колебания на входе.

Спектр входного сигнала сосредоточен в интервале частот т. е. в промежутке от до (ширина спектра оценивается по нулям первого лепестка спектральной диаграммы).

Полоса пропускания усилителя Приближенно можно полагать, что входной импульс в данном случае является узкополосным сигналом, задержку которого можно оценить по формуле (9.91). Используя уравнение ФЧХ - Юрез) находим