14.5. Автогенераторы гармонических колебаний. Режим большого сигнала

Данный параграф посвящен основам теории автоколебательных систем, работающих в режиме большого сигнала, когда уже нельзя пренебречь нелинейностью характеристики электронного прибора. Метод исследования основан на приближенном решении нелинейного дифференциального уравнения автогенератора.

Метод укороченного уравнения.

Обратимся вновь к простейшей схеме автогенератора с трансформаторной связью и будем считать заданной вольт-амперную характеристику активного элемента Поскольку запишем нелинейное дифференциальное уравнение (14.36), характеризующее поведение автогенератора при любых режимах, в виде

Способов точного решения таких уравнений при любой функции не существует. Приходится использовать те или иные дополнительные соображения физического характера и отыскивать приближенные решения. В данном случае следует принять во внимание, что автогенератор содержит высокодобротный колебательный контур. Поэтому, несмотря на присутствие нелинейного элемента, напряжение на контуре должно мало отличаться от гармонического колебания с частотой

Будем искать приближенное решение уравнения (14.52) в виде

предполагая амплитуду медленной функцией времени в том смысле, что На этом основании в выражении первой производной

сохраним только второе слагаемое:

(14.53)

Таким же образом вторая производная

(14.54)

Подставив выражения (14.53) и (14.54) в уравнение (14.52), получим так называемое укороченное дифференциальное уравнение

приближенно описывающее процессы в автогенераторе с высокодобротным колебательным контуром.

Переход к укороченному уравнению значительно упрощает последующие этапы анализа, так как при этом порядок дифференциального уравнения снижается на единицу.

Средняя крутизна.

Производная входящая во второе слагаемое уравнения (14.55), является дифференциальной проводимостью нелинейного элемента.

Ток есть периодическая функция времени, представляемая рядом Фурье

Поскольку выходной сигнал автогенератора лишь в малой степени отличается от гармонических колебаний с частотой , отбросив все высшие гармоники, получим приближенно . В то же время , поэтому

По определению, коэффициент пропорциональности между амплитудой первой гармоники тока и амплитудой напряжения на управляющем электроде есть средняя крутизна крутизна по первой гармонике:

(14.56)

Введя среднюю крутизну, запишем укороченное уравнение (14.55) в виде

Для аналитического рассмотрения удобен случай, когда вольт-амперная характеристика имеет форму степенного ряда:

Как известно (см. гл. 11), при этом

так что

(14.58)

Подставляя данное выражение средней крутизны в укороченное уравнение (14.57), получаем нелинейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, которое всегда можно решить методом разделения переменных.

Стационарный режим автогенератора.

По определению, в стационарном режиме амплитуда колебаний автогенератора постоянна. Положив dU/dt = 0, из (14.57) получаем уравнение

(14.59)

положительные корни которого определяют стационарные значения амплитуды автоколебаний.

Пример 14.6. В автогенераторе использован активный элемент со средней крутизной , где

Автогенератор имеет параметры: Найти стационарную амплитуду автоколебаний.

Вычислим прежде всего величину

На основании (14.59) стационарная амплитуда в данном случае удовлетворяет квадратному уравнению

решив которое получаем

В зависимости от того, в какой области ВАХ располагается рабочая точка нелинейного элемента, характеристика имеет одну из двух форм, изображенных на рис. 14.15.

Если средняя крутизна монотонно убывает с увеличением амплитуды управляющего напряжения, то говорят, что автогенератор работает в мягком режиме самовозбуждения. Соответствующая зависимость изображена на рис. 14.15, о. Здесь же проведена так называемая прямая обратной связи — горизонтальная линия с ординатой . Точка пересечения кривой и прямой обратной связи определяет единственную амплитуду стационарных автоколебаний

Сложнее обстоит дело, если автогенератор работает в жестком режиме самовозбуждения. Здесь, как видно из возможны два стационарных режима с различными амплитудами

Рис. 14.15. Типичные зависимости средней крутизны от амплитуды управляющего напряжения: а — характеристика мягкого режима; б — характеристика жесткого режима

Устойчивость стационарных режимов.

Говорят, что стационарный режим автоколебательной системы устойчив, если при малых отклонениях амплитуды гармонических колебаний от стационарного значения система стремится вновь вернуться к состоянию с той же стационарной амплитудой. Наоборот, система, оказавшаяся в неустойчивой стационарной точке, стремится так изменить свою амплитуду, чтобы перейти в ту или иную устойчивую стационарную точку.

Устойчивость стационарного режима - понятие, специфическое для нелинейных автоколебательных систем. Напомним, что применительно к линейной динамической системе речь может идти только об устойчивости или неустойчивости состояния покоя (режим малых колебаний).

Рассмотрим укороченное уравнение автогенератора (14.57) и предположим, что амплитуда автоколебаний V получила малое отклонение V от стационарной точки:

(14.60)

При этом

где — коэффициент наклона средней крутизны в стационарной точке.

Подставив равенство (14.60) в (14.57), находим с учетом (14.59) дифференциальное уравнение относительно приращения амплитуды:

Из этого простого линейного дифференциального уравнения следует, что знак производной dV/dt зависит лишь от знака величины А. Так, если А < 0, то V и dV/dt имеют разные знаки. Поэтому если по тем или иным причинам амплитуда автоколебаний U стала больше то в силу уравнения (14.61) производная dV/dt < 0. Это означает, что с течением времени автоколебательная система вернется в стационарное состояние.

Легко видеть, что описанным свойством устойчивости обладает автогенератор, работающий в мягком режиме самовозбуждения. Пусть коэффициент взаимоиндукции М мал настолько, что прямая обратной связи 1 не пересекает кривую Единственное устойчивое состояние системы при этом — состояние покоя с нулевой амплитудой автоколебаний. Если коэффициент М увеличивать, то (прямая 2) автогенератор самовозбудится при сколь угодно малой амплитуде стационарных автоколебаний. Дальнейший рост М приведет к плавному увеличению амплитуды генерируемых автоколебаний, так как прямая 3 будет перемещаться вниз.

По-иному протекают процессы в автогенераторе, работающем в жестком режиме самовозбуждения. Если система первоначально находится в состоянии покоя, а прямая обратной связи занимает положение 7, то автоколебания не возникают, несмотря на то, что имеются две точки стационарного режима — неустойчивая точка а и устойчивая точка б. Однако если с помощью каких-либо внешних источников в системе возбуждены гармонические колебания с резонансной частотой и амплитудой, соответствующей точке а, то, поскольку здесь А > 0 (средняя крутизна возрастает с увеличением амплитуды), возникшие автоколебания будут неустойчивыми. Амплитуда их будет нарастать до тех пор, пока система не перейдет в устойчивую точку 6, характеризующуюся постоянной стационарной амплитудой .

Автогенератор с такой характеристикой способен также и к самовозбуждению. Для этого прямая обратной связи должна занять положение 2, при котором неустойчивым является стационарный режим с бесконечно малой амплитудой колебаний Как следует из сказанного ранее, возбужденные автоколебания будут нарастать до тех пор, пока их амплитуда не достигнет в пределе стационарного уровня Если же теперь уменьшать М, то амплитуда автоколебаний будет плавно падать до тех пор, пока не станет равной и прямая обратной связи 3 не займет положение касательной к характеристике Дальнейшее уменьшение М приводит к срыву автогенерации; амплитуда колебаний скачком падает до нуля.

Таким образом, в автогенераторе с жестким режимом самовозбуждения колебания возникают и исчезают при различных значениях коэффициента обратной связи. Говорят, что в таком автогенераторе имеет место колебательный гистерезис.

Зависимость режима автогенератора от выбора рабочей точки.

Как отмечалось, мягкий режим самовозбуждения отличается от жесткого тем, что в первом случае средняя крутизна при малых амплитудах падает с ростом U, а во втором — растет.

Пусть вольт-амперная характеристика нелинейного элемента описывается степенным рядом и поэтому [см. формулу (14.58)] при малых U имеет место зависимость

Очевидно, автогенератор работает в мягком режиме самовозбуждения, если я в жестком режиме, если

Как известно,

причем производная вычисляется в точке, отвечающей начальному напряжению смещения, поданному на нелинейный элемент. Обычно зависимость представляется гладкой кривой, которая монотонно возрастает от нулевого до некоторого постоянного уровня. Проведя трехкратное дифференцирование этой зависимости графическим способом, убеждаемся, что мягкий режим самовозбуждения будет реализован в тех случаях, когда рабочая точка выбрана в средней части характеристики.

Процесс установления стационарной амплитуды.

Метод укороченного уравнения позволяет не только находить стационарные режимы и исследовать их устойчивость, но также изучать динамику процесса установления стационарной амплитуды автоколебаний. В качестве примера найдем закон изменения во времени амплитуды в автогенераторе с мягким режимом самовозбуждения, полагая, что при в системе существуют гармонические колебания с резонансной частотой и с некоторой известной амплитудой

Задача сводится к решению уравнения

с начальным условием . Введем сокращенные обозначения:

Обе части укороченного уравнения

(14.62)

можно умножить на U и получить эквивалентную форму

Разлагая левую часть равенства (14.63) на элементарные дроби, имеем

(14.64)

Наконец, интегрируя и принимая во внимание начальное условие, получаем решение задачи в виде

откуда следует окончательный результат:

При амплитуда автоколебаний стремится к постоянному стационарному уровню

что совпадает с выводом, полученным в примере 14.6.

Важно отметить следующее: стационарная амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий. Если , то в соответствии с выражением (14.65) амплитуда U (t) равна нулю при любых t > 0. Однако, поскольку при режим малых колебаний неустойчив, при любой сколь угодно малой величине 170, возникающей, например, из-за тепловых шумов, самовозбуждение автогенератора всегда будет иметь место.

Наконец, обратим внимание на то, что с повышением добротности колебательной системы, когда параметр а увеличивается. Это, в свою очередь, означает, что установление стационарной амплитуды происходит тем быстрее, чем выше добротность колебательного контура [см. формулу (14.65)]. Полезно вспомнить, что пассивные узкополосные системы, изученные в гл. 9, имеют диаметрально противоположное свойство — при нестационарных процессах огибающая в них изменяется тем медленнее, чем больше добротность системы.