11.7. Воздействие стационарных случайных сигналов на безынерционные нелинейные цепи

Предположим, что на входе безынерционной нелинейной системы присутствует случайный сигнал являющийся одной из реализаций стационарного случайного процесса X (t). Выходной сигнал связан с входным воздействием зависимостью вида ансамбль реализаций задает стационарный случайный процесс Ставится задача иайти связь между статистическими характеристиками процессов При этом возможны два частных подхода:

1. По известной -мерной плотности вероятности входного случайного процесса ищут аналогичную функцию определяющую выходной сигнал.

2. Исследование проводят в рамках корреляционной теории — ищут математическое ожидание ту и функцию корреляции выходного случайного процесса. Наряду с функцией корреляции интерес может представлять спектральная плотность мощности выходного сигнала.

Плотность вероятности выходного сигнала после нелинейного преобразования.

Первую из поставленных задач легко можно решить теми приемами, которые были описаны в гл. 6 при рассмотрении плотностей вероятности систем случайных величин, подвергнутых функциональным преобразованиям. Если случайные значения, наблюдаемые на входе в моменты времени соответственно, то, учитътая безынерционный характер преобразования, имеем на выходе в те же моменты времени

(11,66)

Применив обратную функцию , получим

(11.67)

Тогда многомерная плотность вероятности на выходе

где D — якобиан преобразования (11.66).

Формула (11.68) решает поставленную задачу в самом общем виде.

Пример 11.6. На входе безынерционного нелинейного элемента с кусочно-линейной характеристикой

действует гауссов случайный процесс с нулевым средним значением и заданной дисперсией Плотность вероятности входного сигнала

Вычислить плотность вероятности сигнала на выходе.

При обратная функция имеет вид , таким образом, Поэтому

при у > 0. Любому отрицательному значению х соответствует единственное значение у = 0. Чтобы обеспечить нормировку плотности вероятности на выходе, следует считать, что плотность вероятности рвых при имеет дельта-особенность с коэффициентом, равным 1/2:

Принципиально важно, что, подав на вход нелинейной системы гауссов сигнал, мы наблюдаем на выходе случайный процесс негауссового вида. Мгновенные значения выходного сигнала неотрицательны; в среднем с вероятностью 0.5 сигнал на выходе равен нулю.

Среднее значение сигнала на выходе нелинейной системы.

Простейшая статистическая характеристика стационарного случайного процесса — его среднее значение, получающееся путем усреднения по ансамблю реализаций или, если процесс эргодический, по одной достаточно протяженной реализации.

Чтобы вычислить среднее значение сигнала после нелинейного безынерционного преобразования, нужно располагать одномерной плотностью вероятности основании принципа усреднения (см. гл. 6)

(11.69)

Таким образом, данная задача сводится к квадратуре. С равным успехом можно найти среднее значение преобразованного сигнала, усреднив функцию с помощью одномерной плотности вероятности входного сигнала:

(11.70)

Пример 11.7. Найти среднее значение выходного сигнала для системы, описанной в примере 11.6.

По формуле (11.70)

Отсюда следует возможность измерять дисперсию стационарных гауссовых процессов с помощью нелинейного преобразователя и каскадно включенной линейной инерционной цепи, выполняющей операцию усреднения по времени.

Вычисление функции корреляции выходного сигнала.

В соответствии с общим правилом функция корреляции сигнала на выходе безынерционного нелинейного преобразователя

(11.71)

Для того чтобы можно было воспользоваться формулой (11.71), необходимо располагать функцией — двумерной плотностью вероятности входного сигнала для двух сечений, разделенных промежутком времени т.

Вычисления по формуле (11.71) могут оказаться весьма сложными. Окончательный результат в более или менее обозримом виде удается получить лишь для нормального процесса на входе, когда

где — коэффициент корреляции сигнала на входе.

Пример 11.8. Вычислить функцию корреляции выходного сигнала применительно к условиям, сформулированным в примере 11.6.

Основная трудность заключается в нахождении ковариационного момента

Выполнив замены переменных

запишем среднее значение произведения:

где

Опуская несложные, но громоздкие выкладки, приведем результат:

Отсюда, используя формулу (11.71), находим функцию корреляции выходного сигнала:

(11.73)

Поскольку при величина дисперсия сигнала на выходе

(11.74)

Поэтому коэффициент корреляции случайного процесса на выходе безынерционного нелинейного преобразователя с кусочно-линейной характеристикой описывается формулой

(11.75)

Можно видеть, что при больших сдвигах коэффициент корреляции выходного сигнала стремится к нулю.

Нелинейные преобразования узкополосных случайных процессов.

Предположим, что входной сигнал нелинейного безынерционного преобразователя является узкополосным случайным процессом с гауссовым законом распределения. Его реализации имеют вид квазигармонических случайных колебаний с центральной частотой Функция корреляции входного сигнала

(11.76)

Найдем функцию корреляции выходного. сигнала применительно к конкретному виду нелинейного элемента с кусочно-линейной характеристикой, который изучался в предыдущих примерах.

Непосредственная подстановка из (11.76) в (11.75), хотя и приводит к требуемому результату, но такой путь лишен наглядности. Целесообразно несколько преобразовать выражение (11.75), разложив его правую часть в бесконечный ряд по степеням величины Для этого воспользуемся тем, что

Поэтому

Воспользовавшись формулой (11.76), находим, что

(11.78)

Поскольку

из (11.78) следует, что

(11-79)

Отсюда с помощью теоремы Винера — Ханчина можно установить вид спектра мощности выходного случайного процесса. Оказывается, что спектр колебаний на выходе нелинейного преобразователя разбивается на бесконечную сумму составляющих, каждая из которых отображает индивидуальный узкополосный случайный процесс. Максимумы спектральных плотностей мощности этих составляющих наблюдаются на частотах Помимо этого в спектре выходного сигнала возникает низкочастотная составляющая в окрестности нулевой частоты, которую можно рассматривать как результат амплитудного детектирования входного сигнала.

Интересно отметить, что в данном случае спектр выходного сигнала не содержит составляющих с частотами Безусловно, что при других видах характеристики нелинейного элемента можно ожидать появления всех без исключения гармоншг центральной частоты входного случайного колебания.