Результаты

- Случайная спектральная плотность отдельных реализаций стационарного случайного процесса дельта-коррелирована и имеет на всех частотах нулевое математическое ожидание.

- Преобразование Фурье от функции корреляции называется спектральной плотностью мощности стационарного случайного процесса. Чем шире этот спектр, тем хаотичнее реализации случайного процесса.

- Для того чтобы случайный процесс был дифференцируемым, необходимо существование второй производной функции корреляции при нулевом значении аргумента.

- Мгновенные значения реализации случайного процесса и его производной в совпадающие моменты времени некоррелированы.

- Реализации случайного сигнала на выходе идеального интегратора образуют нестационарный случайный процесс даже в том случае, если входной случайный процесс стационарен.

- Реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания, случайно модулированные по амплитуде и по фазовому углу.

- Функция корреляции узкополосного случайного процесса представляется в виде произведения быстрого и медленного сомножителей.

- Узкополосный случайный процесс и его преобразование Гильберта в совпадающие моменты времени некоррелированы между собой.

- Огибающая узкополосного нормального случайного процесса распределена по закону Рэлея; начальная фаза этого процесса имеет равномерное распределение.

- Нормированная функция корреляции огибающей узкополосного случайного процесса приблизительно равна квадрату огибающей нормированной функции корреляции самого процесса.

- Огибающая суммы гармонического сигналу и узкополосного гауссова шума, центральная частота спектра мощности которого совпадает с частотой сигнала, распределена по закону Райса. При больших отношениях сигнал/шум плотность вероятности огибающей близка к нормальной.

Вопросы

1. Некоторый случайный процесс изучают в рамках корреляционной теории. Какой смысл вкладывается в это высказывание?

2. Как формулируется теорема Винера — Хинчина?

3. Каковы основные свойства спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса?

4. Как определяется понятие одностороннего спектра мощности? Как, зная спектр мощности, вычислить дисперсию стационарного случайного процесса?

5. Почему случайный процесс типа белого шума называют дельта-коррелированным случайным процессом? Каковы основные свойства белого шума? В каких случаях реальный случайный процесс можно приближенно заменить белым шумом?

6. Как в теории случайных процессов определяют понятия сходимости и непрерывности?

7. Каковы отличительные свойства недифференцируемых случайных процессов?

8. Как вычисляются дисперсия, функция корреляции и спектр мощности для производной от стационарного случайного процесса?

9. Как определяется понятие положительного выброса случайного процесса?

10. Что такое квазичастота стационарного случайного процесса?

11. Каков примерный вид реализаций узкополосного случайного процесса?

12. Как выглядит характерная осциллограмма случайного сигнала с рэлеевской плотностью вероятности мгновенных значений?

Задачи

1. Вычислите спектр мощности стационарного случайного процесса, описываемого функцией корреляции

2. Найдите функцию корреляции стационарного случайного процесса, имеющего

спектральную плотность мощности

3. Односторонний спектр мощности стационарного случайного процесса задан формулой

где — постоянные величины. Определите функцию корреляции процесса.

4. Найдите интервал корреляции стационарного случайного процесса с функцией корреляции

5. Стационарный случайный процесс имеет эффективную ширину спектра, равную 1.5 МГц. Максимальное значение одностороннего спектра мощности составляет Определите дисперсию данного процесса.

6. Полагая, что в течение месяца температура воздуха является реализацией стационарного случайного процесса, предложите оценку для его интервала корреляции.

7. Найдите дисперсию производной случайного процесса с функцией корреляции вида

8. Стационарный случайный процесс имеет спектр мощности, представляемый графиком:

Докажите, что этот случайный процесс дифференцируем и найдите Дисперсию его производной.

9. Квазичастота случайного процесса с дисперсией равна 0.5 МГц. Определите дисперсию производной данного случайного процесса.

10. Стационарный случайный процесс имеет односторонний спектр мощности

Реализации процесса представлены в виде где

Найдите функции корреляции а также взаимную функцию корреляции

11. Найдите среднее значение и дисперсию огибающей узкополосного нормального случайного процесса с функцией корреляций

12. Узкополосный нормальный случайный процесс имеет функцию корреляции

Найдите функцию корреляции и спектр мощности огибающей этого пррцесса.

Более сложные задания

13. Исследуйте функцию корреляции процесса вида «случайного телеграфного сигнала». Его реализации являются разрывными функциями, принимающими с равной вероятностью лишь два значения: :

В случайные моменты времени знак реализации изменяется скачком. Вероятность того, что за время Т произойдет перемен знака, описывается законом Пуассона:

где X — параметр, определяющий скорость изменения процесса во времени.

14. Узкополосный нормальный случайный процесс имеет функцию корреляции

Докажите, что квадрат огибающей этого процесса имеет функцию корреляции

15. Узкополо сный нормальный случайный процесс характеризуется функцией корреляции, приведенной в задаче 14. Найдите одномерную плотность вероятности мгновенной частоты данного процесса.