Глава 13. Элементы теории синтеза линейных частотных фильтров

Теорию цепей принято делить на две обширные области, тесно связанные между собой, — анализ и синтез. Задачей анализа является нахождение внешних и внутренних характеристик электрической цепи, структура которой задана заранее, например в виде принципиальной схемы. Задача синтеза цепи диаметрально противоположна — внешняя характеристика, такая, как частотный коэффициент передачи напряжения, входное или выходное сопротивление и т. д., считается известной. Требуется найти структуру цепи, реализующую эту характеристику.

В отличие от анализа синтез цепи, как правило, является неоднозначной процедурой. Поэтому среди множества структур с одинаковыми свойствами необходимо отыскать ту, которая в некотором определенном смысле оптимальна. Так, всегда желательно, чтобы синтезируемая цепь содержала минимально возможное число элементов. Во многих случаях нужно, чтобы цепь была малочувствительна к выбору номиналов входящих в нее элементов.

Синтез цепей является развитой областью современной теоретической радиотехники. Разработан целый ряд методов синтеза, порой весьма сложных, с которыми читатель может познакомиться самостоятельно [35,36]. Методы синтеза цепей приобрели исключительно большое значение в связи с внедрением систем автоматизированного проектирования радиотехнических устройств на ЭВМ.

В данной главе будет изучаться простейшая задача синтеза частотных фильтров, представляющих собой линейные стационарные четырехполюсники, образованные элементами L, С и R. Исходные данные для синтеза во всех случаях будут задаваться амплитудно-частотными характеристиками.

13.1. Частотные характеристики четырехполюсников

Четырехполюсниками называют электрические цепи, имеющие вид «черного ящика» с двумя парами доступных зажимов. Одна пара служит входом, другая — выходом сигнала. В рабочем режиме ко входу подключен источник сигнала, а выходные зажимы нагружены на сопротивлений нагрузки

Предполагаетсн, что читатель знаком с методами анализа четырехполюсников, которые излагаются в курсе теории цепей [3, 36]. Материал данного параграфа освещает лквдь отдельные моменты, существенные для синтеза четырехполюсников.

Матричное описание.

Важнейшее свойство линейного стационарного четырехполюсника состоит в том, что четыре комплексные амплитуды при любой частоте внешнего воздействия связаны двумя линейными алгебраическими уравнениями. Две произвольно выбранные комплексные амплитуды можно принять за независимые величины, а две другие должны определяться через них. Это служит основанием для матричного описания линейных четырехполюсников. Так, часто используют матрицу передачи (-матрицу), полагая независимыми переменными напряжение и ток на выходе. При этом

Коэффициенты А, В, С и D имеют разные физические размерности и могут быть определены из опытов холостого ходв и короткого замыкания. Матрицы передачи особенно удобны для описания каскадного включения четырехполюсников, поскольку результирующая матрица есть произведение матриц отдельных звеньев.

Если заданы матрица четыфехполюсника и сопротивление нагрузки, то можно вычислить так называемые функции цепи, к которым относят, например:

а) входное сопротивление

б) передаточное сопротивление

в) частотный коэффициент передачи напряжения

Функции цепи зависят в общем случае от частоты. Любая функция цепи выражается через элементы матрицы четырехполюсника и через сопротивление нагрузки. Так, деля левые и правые части уравнения (13.1) друг на друга, находим, что входное сопротивление

Аналогично, частотный коэффициент передачи напряжения

Обратим внимание на то, что функция зависит от направления передачи энергии в системе. Если источник и нагрузка поменялись местами, то вводят частотный коэффициент передачи в обратном направлении (нагрузка слева):

Передаточная функция четырехполюсника.

В дальнейшем в качестве аргумента частотного коэффициента передачи будет использоваться не только переменная но и комплексная частота , т. е. наряду с функцией будет рассматриваться более общая характеристика — передаточная функция . Передаточная функция четырехполюсника обладает всеми свойствами передаточных функций линейных стационарных систем, рассмотренных в гл. 8.

Так, линейному четырехполюснику с постоянными параметрами отвечает функция

где — постоянная величина. Если цепь устойчива, то полюсы должны располагаться в левой полуплоскости, образуя комплексно-сопряженные пары.

Обычно вводят дополнительное условие — число полюсов функции должно превышать число нулей, т. е. в бесконечно удаленной точке должен существовать не полюс, а нуль передаточной функции. Тогда импульсная характеристика цепи

оказывается ограниченной, поскольку при бесконечно большом радиусе контура интегрирования С экспоненциальный сомножитель подынтегральной функции сможет «погасить» интеграл по дуге.

Расположение нулей передаточной функции.

В отличие от полюсов нули функции устойчивого линейного четырехполюсника могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной . Действительно, если то это лишь означает, что при некотором изображение выходного напряжения обращается в нуль. Это не противоречит свойствам устойчивых систем.

Четырехполюсники, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называют минимально-фазовыми цепями. Если же нули в правой полуплоскости имеются, то такие четырехполюсники называют неминимальнофазовыми цепями.

Данная терминология связана со следующими обстоятельствами. Рассмотрим плоскость комплексной частоты, на которой обозначены некоторые точки в левой и правой полуплоскостях. Пусть эти точки являются нулями передаточной функции четьфехполюсника. Если цепь находится под гармоническим внешним воздействием, так что то данным точкам соответствуют два вектора на комплексной плоскости: которые отвечают соответствующим сомножителям в числителе формулы (13.5). Оба вектора поворачиваются и изменяют свою длину при изменении частоты Разница между ними состоит в том, что вектор с изменением частоты от до увеличивает фазовый угол частотного коэффициента передачи на радиан, в то время как вектор при тех же условиях уменьшает фазу на ту же величину. Коэффициент передачи четырехполюсника является дробнорациональной функцией, изменение аргумента которой

Поэтому при одинаковом числе нулей и полюсов неминимально-фазовая цепь обеспечивает большее по абсолютному значению изменение фазы коэффициента передачи по сравнению с минимально-фазовой цепью.

Расположение нулей функции связано с топологической структурой цепи. В теории цепей показывается, что минимально-фазовым будет любой четырехполюсник со следующим свойством: передача сигнала с входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. В частности, минимально-фазовыми цепями будут любые четырехполюсники лестничной структуры.

Неминимально-фазовые четырехполюсники имеют, как правило, структуру мостовых (скрещенных) цепей, в которых сигнал на выход проходит по двум или более каналам. Простейшая неминимально-фазовая цепь — симметричный мостовой четырехполюсник, образованный элементами . Здесь, как нетрудно убедиться, передаточная функция по напряжению

Данная функция имеет единственный нуль который находится в правой полуплоскости.

Однако мостовая структура не гарантирует автоматически принадлежность цепи к неминимально-фазовому классу. В каждом отдельном случае следует проверять наличие или отсутствие нулей передаточной функции в правой полуплоскости.

Связь меаду АЧХ и ФЧХ минимально-фазового четырехполюсника.

Передаточная функция любого устойчивого четьфехполюсника в правой полуплоскости переменной является аналитической функцией. Если к тому же этот четырехполюсник принадлежит к числу цепей минимальнофазового типа, то его передаточная функция в правой полуплоскости не имеет и нулей. Это значит, что аналитической оказывается функция

В соответствии с материалом гл. 5 граничные значения вещественной и мнимой частей функции на мнимой оси, т. е. при связаны между собой парой преобразований Гильберта:

Таким образом, реализуя заданную АЧХ четырехполюсника минимально-фазового типа, невозможно получить при этом любую ФЧХ.

Основываясь на свойствах преобразований Гильберта, можно утверждать, например, что если АЧХ минимально-фазового четырехполюсника на какой-нибудь частоте достигает максимума, то ФЧХ в окрестности этой частоты проходит через нуль.

Если же четырехполюсник принадлежит к классу цепей неминимальной фазы, то АЧХ и ФЧХ независимы друг от друга. Среди неминимально-фазовых цепей особо важную роль играют так называемые всепропускающие четырехполюсники, у которых модуль коэффициента передачи постоянен и не зависит от частоты. Примером может служить симметричный мостовой -четырехполюсник, для которого в соответствии с равенством (13.6)

Подобные четырехполюсники используются для фазовой коррекции сигналов. Они позволяют частично компенсировать искажения формы сигналов, прошедших через радиотехнические устройства.

Коэффициент передачи мощности.

Как известно (см. гл. 8), так принято называть квадрат модуля частотного коэффициента передачи четырехполюсника:

В отличие от самого коэффициента передачи функция вещественна и поэтому особенно удобна для задания исходных данных к синтезу четырехполюсника.

Как видно из формулы (13.9), коэффициент передачи мощности — четная функция частоты, т. е. всегда может быть представлен в виде отношения двух многочленов по степеням

(13.10)

Если подставить переменную вместо переменной то функция будет аналитически продолжаться с мнимой оси на всю плоскость комплексных частот:

(13.11)

Формула (13.11) устанавливает следующий факт: если — особая точка (нуль или полюс) функции , то будет иметь такую же особую точку как при так и при Принято говорить, что особые точки частотного коэффициента передачи мощности имеют квадрантную симметрию, т. е. располагаются на комплексной плоскости, имея центр симметрии в начале координат. Это свойство имеет большое значение в теории синтеза четырехполюсников, поскольку оно дает возможность восстанавливать частотный коэффициент передачи по известной функции

Этапы синтеза частотно-избирательных четырехполюсников.

Синтез частотных фильтров обычно начинают с того, что выбирают некоторую идеализированную функцию, которая описывает частотную зависимость коэффициента передачи мощности, равную квадрату АЧХ.

Никаких ограничений на вид ФЧХ фильтра не налагают. Поэтому такой подход называют синтезом фильтра по заданной АЧХ.

Как правило, идеализированная частотная характеристика является физически нереализуемой. Поэтому второй этап синтеза состоит в аппроксимации этой характеристики такой функцией, которая может принадлежать физически реализуемой цепи.

Далее по аппроксимированной частотной характеристике передачи мощности находят передаточную функцию фильтра.

— Зная координаты нулей и полюсов этой функции, можно провести реализацию цепи, т. е. получить принципиальную схему фильтра вместе с номиналами входящих в него элементов.