15.3. Теория z-преобразования

При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств широко используют так называемое z-преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральные преобразования Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. В данном параграфе излагаются основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.

Определение z-преобразования.

Пусть числовая последовательность, конечная или бесконечная, содержащая отсчетные значения некоторого сигнала. Поставим ей в однозначное соответствие сумму ряда по отрицательным степеням комплексной переменной

(15.32)

Назовем эту сумму, если она существует, z-преобразованием последовательности Целесообразность введения такого Математического объекта связана с тем, что свойства дискретных последовательностей чисел можно изучать, исследуя их z-преобразования обычными методами математического анализа.

На основании формулы (15.32) можно непосредственно иайти z-преобразования дискретных сигналов с конечным числом отсчетов. Так, простейшему дискретному сигналу с единственным отсчетом соответствует

Если же, например, то

Сходимость ряда. Если в ряде (15.32) число слагаемых бесконечно велико, то необходимо исследовать его сходимость. Из теории функций комплексного переменного [14] известно следующее. Пусть коэффициенты рассматриваемого ряда удовлетворяют условию

(15-33)

при любых Здесь — постоянные вещественные числа. Тогда ряд (15.32) сходится при всех значениях z, таких, что . В этой области сходимости сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.

Рассмотрим, например, дискретный сигнал образованный одинаковыми единичными отсчетами и служащий моделью обычной функции включения. Бесконечный ряд является суммой геометрической прогрессии и сходится при любых z в кольце Суммируя профессию, получаем

На границе области аналитичности при эта функция имеет единственный простой полюс.

Аналогично получается -преобразование бесконечного дискретного сигнала где а — некоторое вещественное число. Здесь

Данное выражение имеет смысл в кольцевой области .

z-преобразование непрерывных функций.

Полагая, что отсчеты есть значения непрерывной функции в точках любому сигналу можно сопоставить его z-преобразование при выбранном шаге дискретизации:

(15.34)

Например, если соответствующее -преобразование

является аналитической функцией при

Обратное z-преобразование.

Пусть — функция комплексной переменной z, аналитическая в кольцевой области

Замечательное свойство -преобразования состоит в том, что функция определяет всю бесконечную совокупность отсчетов

Действительно, умножим обе части ряда (15.32) на множитель

(15.35)

а затем вычислим интегралы от обеих частей полученного равенства, взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции . При этом воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:

Очевидно, интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером , поэтому

(15.36)

Данная формула называется обратным z-преобразованием.

Пример 15.2. Задано z-преобразование вида Найти коэффициенты дискретного сигнала отвечающего этой функции.

Прежде всего отметим, что функция аналитична во всей плоскости, за исключением точки поэтому она действительно может быть -преобразованием некоторого дискретного сигнала. Обращаясь к формуле (15.36), находим, что

при любых Таким образом, исходный дискретный сигнал имеет вид .

Связь с преобразованиями Лапласа и Фурье.

Определим при сигнал вида идеальной МИП:

Преобразовав его по Лапласу, получим изображение

(15.37)

которое непосредственно переходит в -преобразование, если выполнить подстановку Если же положить то выражение

(15.38)

будет преобразованием Фурье импульсной последовательности.

Установленный здесь факт дает возможность проводить формальную аналогию между спектральными свойствами непрерывных и дискретных сигналов.

Важнейшие свойства преобразования.

Рассмотрим некоторые свойства z-преобразования.

1. Линейность. Если — некоторые дискретные сигналы, причем известны соответствующие -преобразования то сигналу будет отвечать преобразование при любых постоянных Доказательство проводится путем подстановки суммы в формулу (15.32).

2. -преобразование смещенного сигнала. Рассмотрим дискретный сигнал получающийся из дискретного сигнала путем сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т. е. когда . Непосредственно вычисляя -преобразование, получаем следующий результат:

(15.39)

Таким образом, символ служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в -области.

3. z-преобразование свертки. Пусть — непрерывные сигналы, для которых определена свертка

(15.40)

Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (15.40) принято вводить дискретную свертку — последовательность чисел, общий член которой

(15.41)

Вычислим -преобразование дискретной свертки:

(15.42)

Итак, свертке двух дискретных сигналов отвечает произведение -преобразований.