12.4. Воздействие гармонических сигналов на параметрические системы со случайными характеристиками

Большой теоретический и прикладной интерес представляет изучение прохождения сигналов через системы, параметры которых случайно изменяются во времени.

В простейшем случае речь идет о случайной нестабильности коэффициента усиления некоторого устройства, приводящей к флуктуациям амплитуды на выходе. В более сложной ситуации приходится рассматривать распространение сигналов в различных средах, например, в плазме ионосферы Земли, при наличии случайных изменений показателя преломления. Здесь принятый сигнал искажен случайной угловой модуляцией, поскольку набег фазы сигнала на трассе распространения оказывается случайной функцией времени.

Подробное исследование статистических характеристик сигналов на выходе линейных систем со случайно изменяющимися параметрами проведено в работе [22]. Здесь будут изучены две простейшие задачи.

Случайная амплитудная модуляция.

Рассмотрим сигнал на выходе резистивной параметрической цепи, которая осуществляет умножение гармонического колебания на функцию z(t), принадлежащую ансамблю реализаций стационарного случайного процесса Математическое ожидание и функция корреляции считаются известными. Методами корреляционной теории исследуем статистические характеристики процесса на выходе такой цепи.

Поскольку реализация выходного сигнала то, очевидно,

Функция корреляции выходного сигнала

(12.57)

Так как

Согласно определению, ковариационный момент

то

откуда получаем окончательную формулу, связывающую функции корреляции выходного сигнала и случайного коэффициента передачи z(t):

(12.58)

Дисперсия выходного случайного процесса

Характерный вид формулы (12.58) говорит о том, что если реализации изменяются во времени медленно по сравнению с входным сигналом, то выходное колебание является реализацией узкополосного случайного процесса. Следует заметить, что если , то функция не стремится к нулю при .

Рис. 12.7. Характеристики сигнала на выходе случайного амплитудного модулятора: а — функция корреляции; б — спектральная плотность мощности

Для того чтобы понять физические следствия этого свойства, обратим по Фурье функцию , т. е. найдем спектр мощности процесса

Несложные преобразования позволяют представить эту зависимость в виде

(12.59)

Таким образом, в спектре мощности процесса на выходе случайного амплитудного модулятора присутствуют две компоненты: непрерывная, обусловленная случайными флуктуациями амплитуды, и дискретная, описывающая прохождение на выход смодулированного несущего колебания; дискретному спектру соответствуют две дельта-функции в частотной области. Доля дискретной части тем значительнее, чем больше величина по сравнению с дисперсией Примерный вид графиков функции корреляции и спектра мощности для рассматриваемого случая изображен на рис. 12.7.

Огибающая выходного сигнала.

Если — медленный процесс, то можно считать, что мгновенное значение физической огибающей на выходе рассматриваемой системы пропорционально абсолютной величине его реализации:

(12.60)

поскольку амплитудный детектор, создающий на выходе огибающую, нечувствителен к фазе высокочастотного заполнения.

Соотношение (12.60) указывает на то, что огибающая узкополосного процесса на выходе параметрической системы с флуктуирующим коэффициентом передачи есть результат нелинейного безынерционного преобразования случайного процесса в воображаемом устройстве с кусочно-линейной характеристикой квых Среднее значение, дисперсия и функция корреляции огибающей могут быть вычислены с помощью методов, изложенных в гл. 11.

Случайная угловая модуляция.

Пусть гармонический сигнал подвергается параметрическому преобразованию, в результате которого возникает колебание промодулированное по фазовому углу реализацией стационарного случайного процесса Очевидно, функция корреляции выходного сигнала

(12.61)

Первое слагаемое в фигурных скобках при усреднении обращается в нуль, поэтому

(12.62)

(для сокращения записи аргумент функции ) опущен).

Если то и эффективная мощность сигнала, т. е. его дисперсия оказывается такой же, как мощность гармонического сигнала с амплитудой

Формула (12.62) дает полное описание свойств сигнала со случайной угловой модуляцией в рамках корреляционной теории. Так, она указывает на следующий факт: если процесс Z(t) образован реализациями, медленными по сравнению с гармоническими колебаниями частоты то сигнал на выходе фазового модулятора является узкополосным случайным процессом с центральной частотой

Угловая модуляция нормальным случайным процессом.

Для анализа формулы (12.62) необходимо найти среднее значение входящих в нее тригонометрических функций от разностного аргумента. Это можно сделать, располагая двумерной плотностью вероятности

Вычислить такие интегралы в общем случае весьма сложно. Однако если случайный процесс гауссов, то существует изящный способ, сразу приводящий к окончательному результату.

Этот способ основан на использовании двумерной характеристической функции гауссова процесса [см. формулу (6.32)]

Так как

то на основании формулы (12.63) находим средние значения:

(12.64)

Положив для определенности имеем

поэтому

Подставив эти результаты в (12.62), найдем окончательное выражение функции корреляции сигнала, возникающего при гауссовой угловой модуляции гармонического колебания:

(12.65)

С качественной точки зрения эта функция аналогична той, которая была найдена ранее при анализе случайной амплитудной модуляции. Поэтому полностью повторяется вывод о том, что спектр мощности содержит две составляющие — непрерывную и дискретную. Анализ показывает что при случайная угловая модуляция оказывается широкополосной. Дискретная часть спектра практически исчезает, а непрерывная часть вблизи частоты описывается гауссовой функцией

Эффективная ширина спектра

(12.67)

возрастает с увеличением как дисперсии а, так и величины , пропорциональной скорости изменения модулирующей функции.