15.6. Синтез линейных цифровых фильтров

Важное практическое значение имеют методы синтеза ЦФ, обеспечивающие заранее заданные свойства, например, требуемый вид импульсной или частотной характеристики [40]. Ниже будет идти речь о тех приемах синтеза, которые существенным образом опираются на свойства аналоговых цепей, служащих модельными аналогами (прототипами) цифровых устройств

Метод инвариантных импульсных характеристик.

В основе этого простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа. Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t < 0, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:

(15.79)

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

Связь между коэффициентами импульсной характеристики и структурой ЦФ особенно проста для трансверсального фильтра. В общем случае синтез структуры фильтра осуществляется путем применения z-преобразования к последовательности вида (15.79). Найдя системную функцию фильтра, следует сравнить ее с общим выражением (15.64) и определить коэффициенты трансверсальной и рекурсивной частей.

Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации Д. При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

Пример 15.7. Рассмотреть синтез трансверсального цифрового фильтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей RC-цепи) с импульсной характеристикой вида

(15.80)

(несущественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице).

Пусть импульсная характеристика аппроксимируется последовательностью из трех равноотстоящих отсчетов:

(15.81)

Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением

(15.82)

Применив z-преобразованне к последовательности (15.81), находим системную функцию ЦФ

(15.83)

откуда Частотный коэффициент передачи

(15.84)

Пример 15.8. Рассмотреть случей, когда импульсная характеристика (15.80) аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью

(15.85)

Выполнив z-преобразование импульсной характеристики (15.85), получим системную функцию

(15.86)

Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок и один элемент задержки.

Частотный коэффициент передачи фильтра

Сравнение грансверсальных и рекурсивных ЦФ.

Желательно, чтобы АЧХ синтезируемого ЦФ достаточно точно аппроксимировала АЧХ аналогового прототипа. Выбор того или иного варианта структуры ЦФ в рамках метода инвариантной импульсной характеристики существенно сказывается на точности приближения.

Сравним частотные характеристики даух ЦФ, рассмотренных в примерах 15.7 и 15.8. Оба эти фильтра соответствуют аналоговому прототипу с частотным коэффициентом передачи:

(15.88)

Положим для конкретности, что отношение На основании формул (15.88), (15.84) и (15.87), сделав несложные преобразования, запишем выражения нормированных АЧХ аналогового и двух цифровых фильтров, рекурсивного и трансверсального:

Результаты расчета величин по данным формулам сведены в табл. 15.1.

Таблица 15.1

Из приведенных данных видно, что как рекурсивный, так и трансверсальный ЦФ действительно обладают характеристиками фильтров нижних частот. Однако рекурсивный фильтр по своим частотным свойствам оказывается гораздо ближе к аналоговому прототипу.

Синтез ЦФ на основе дискретизации дифференциального уравнения аналоговой цепи.

К структуре ЦФ, приближенно соответствующего известной аналоговой цепи, можно прийти, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, описывающего аналоговый прототип. Как пример использования этого метода рассмотрим синтез ЦФ, отвечающего колебательной динамической системе 2-го порядка, для которой связь между выходным колебанием и входным колебанием x(t) устанавливается дифференциальным уравнением

(15.92)

Предположим, что шаг дискретизации равен и рассмотрим совокупности дискретных отсчетов Если в (15.92) заменить производные их конечно-разностными выражениями, то дифференциальное уравнение превратится в разностное уравнение

(15.93)

Перегруппировав слагаемые, отсюда получаем

Разностное уравнение (15.94) задает алгоритм рекурсивного фильтра 2-го порядка, который моделирует аналоговую колебательную систему. Такой ЦФ принято называть цифровым резонатором. При соответствующем выборе коэффициентов цифровой резонатор может выполнять роль частотноизбирательного фильтра, подобного колебательному контуру.

Метод инвариантных частотных характеристик.

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис. 15.12).

Рис. 15.12. Амплитудно-частотные характеристики фильтров: а — аналогового; б — цифрового

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству

при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть — передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробнорациональным выражением по степеням комплексной частоты . Если воспользоваться связью между переменными : то можно записать

Однако с помощью этого закона связи нельзя полуфизически реализуемую, системную функцию ЦФ, по скольку подстановка (15.96) в выражение приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного даух многочленов.

Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (15.96), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости .

Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида [40]

устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в p-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполнена замена переменной Тогда

откуда вытекает соотношение между частотными переменными аналоговой и цифровой систем:

Если частота дискретизации достаточно велика то, как легко видеть из формулы (15.98), Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по осн частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98).

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции аналоговой цери выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Пример 15.9. Синтезировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттерворта. Частота среза для ЦФ Частота дискретизации

Прежде всего определяем шаг дискретизации . По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:

Как известно, передаточная функция аналогового ФНЧ порядка типа Баттерворта, рассматриваемая относительно нормированной комплексной частоты имеет (см. гл. 13)

или при переходе к истинной комплексной частоте

(15.100)

Выполнив в (15.100) замену переменной вида (15.97), находим системную функцию ЦФ:

(15.101)

Подставив в эту формулу числовые значения, получим следующий результат:

Влияние квантования сигнала на работу цифрового фильтра.

При проектировании ЦФ в ряде случаев следует учитывать специфические погрешности их работы, возникающие за счет квантования сигналов, т. е. вследствие представления всех величин/как постоянных, так и изменяющихся во времени, в виде двоичных чисел с конечной разрядностью.

Квантованный характер сигналов приводит к целому ряду явлений, описанных в литературе по цифровой фильтрации [39]. Здесь будет рассмотрен простейший эффект — возникновение так называемого шума квантования.

Пусть — наибольшее значение аналогового сигнала на входе АЦП, которое еще не вызывает переполнения арифметических устройств фильтра. Если — число двоичных разрядов, отводимых для представления чисел в фильтре, то очевидно, что квантование сигнала происходит с шагом

Квантованные отсчеты описывают мгновенные значения аналогового сигнала не точно, а с некоторой погрешностью, тем меньшей, чем меньше шаг квантования. Иными словами, отсчеты входного сигнала фильтра являются суммами истинных значений и отсчетов и некоторого дискретного случайного процесса, называемого шумом квантования:

Теоретически и экспериментально показано, что в большинстве случаев, интересных для практики, последовательность образована статистически независимыми случайными величинами, каждая из которых равномерно распределена интервале от до и поэтому имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию (см. гл. 6).

Шум квантования, присутствующий на входе ЦФ, преобразуется этим устройством. Пусть — дискретная последовательность, соответствующая входному шуму квантования. Для того чтобы найти отсчет выходной последовательности следует вычислить дискретную свертку входного шумового сигнала и импульсной характеристики фильтра:

(15.105)

Отсюда определяем функцию корреляции шума квантования на выходе:

(15.106)

Положив получим дисперсию шума на выходе:

Таким образом, выходной шум квантования оказывается тем больше, чем медленнее уменьшаются отсчеты импульсной характеристики фильтра.