11.2. Спектральный состав тока в безынерционном нелинейном элементе при гармоническом внешнем воздействии

Рассмотрим явления в простейшей цепи, образованной последовательным соединением источника гармонического сигнала источника постоянного напряжения смещения и безынерционного нелинейного элемента. Наймем форму тока в цепи, воспользовавшись несложными графическими построениями, приведенными на рис. 11.4.

Легко видеть, что формы тока и напряжения оказываются здесь различными.

Рис. 11.4. Графическое построение кривой, отображающей тока в безынерционной нелинейной цепи

Причина искажения тока кривой изменение проста: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, поскольку а дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики на разных участках также различна.

Основной принцип.

Подходя к описанной задаче аналитически, будем считать известной нелинейную функцию

Пусть к входным зажимам нелинейного двухполюсника приложено напряжение сигнала Если ввести безразмерную переменную , то функция

оказывается периодической относительно аргумента с периодом поэтому она может быть представлена рядом Фурье

с коэффициентами

Поскольку функция четная, ряд Фурье (11.9) будет содержать только косинусоидальные слагаемые:

Амплитудные коэффициенты гармоник выражаются следующим образом:

(11-11)

Формулы (11.10) и (11.11) дают общее решение задачи о спектре тока в нелинейном безынерционном элементе при гармоническом внешнем воздействии. Оказывается, что ток

кроме постоянной составляющей содержит бесконечную последовательность гармоник с амплитудами Амплитуды гармоник в соответствии с (11.11) зависят от параметров а также от вида аппроксимирующей функция.

Кусочно-линейная аппроксимация.

Форма тока в цепи, содержащей нелинейный элемент с характеристикой

на который подано напряжение

видна построения на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Форма тока в цепи, содержащей нелинейный элемент с кусочно-линейной характеристикой

График тока имеет характерный вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Спектральный состав такого периодического процесса подробно изучался в гл. 2.

Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства откуда

(11.14)

Постоянную составляющую и амплитуды гармоник тока вычисляют по формулам

в которые входят соответствующие функции Берга

Пример 11.2. Нелинейный элемент имеет кусочно-линейную ВАХ с параметрами . К данному элементу приложено напряжение (В) вычислить постоянную составляющую 10 и первую гармонику тока.

Так как

Значения функций Берга:

По формулам (11.15) находим .

Степенная аппроксимация.

Пусть в окрестности рабочей точки вольт-амперная характеристика нелинейного элемента представлена в виде

(11.16)

приложенное к нелинейному двухполюснику напряжение

Воспользовавшись известными формулами

путем подстановки (11.17) в (11.16) получаем

(11.18)

Отсюда вытекают следующие соотношения для расчета постоянной составляющей тока и амплитуд гармоник:

Общее выражение при произвольном номере гармоники таково:

Показательная аппроксимация.

В случае, когда ВАХ двухполюсника аппроксимирована выражением

для вычисления спектра тока используют формулу,

где — модифицированная функция Бесселя индекса.

Если к нелинейному двухполюснику с экспоненциальной характеристикой приложена сумма напряжений смещения и гармонического сигнала, т. е. то

(11.21)

Нелинейные искажения в усилителе с резистивной нагрузкой.

Трансформация спектра входного сигнала в нелинейных цепях является чрезвычайно важным явлением. С одной стороны, на нем основана работа целого ряда радиотехнических устройств (модуляторов, детекторов и т. д.), которые будут рассмотрены ниже; с другой, из-за нелинейности характеристик возникают некоторые нежелательные эффекты, которые необходимо оценивать и учитывать.

Рассмотрим, например, транзисторный усилитель, нагрузкой которого служит резистор . В отличие от усилителя малых сигналов (см. гл. 8) будем полагать, что амплитуде входного гармонического сигнала достаточно велика для того, чтобы сделать обязательным учет нелинейности проходной характеристики транзистора Пусть в простейшем случае эта характеристика при некотором выборе рабочей точки задается многочленом второй степени:

Подав на вход усилителя напряжение

в коллекторной цепн будем иметь постоянную составляющую тока, а также токи, отвечающие первой и второй гармоникам частоты сигнала, причем на основании (11.19)

Эта гармоники тока, проходя через резистор нагрузки, создают на нем падение напряжения, которое является выходным сигналом.

Для того чтобы количественно оценить степень искажения сигнала на выходе усилителя, вводят величину называемую коэффициентом нелинейных искажений усилителя равную отнощению среднеквадратического уровня всех высших гармоник тока к амплитуде тока полезного сигнала:

(11-22)

В данном случае

Заметим, что коэффициент нелинейных искажений увеличивается с ростом амплитуды сигнала.