2.2. Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье

Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Среди последних для радиотехники наибольший интерес представляют импульсные сигналы.

Периодическое продолжение импульса. Пусть — одиночный импульсный сигнал конечной длительности.

Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следующими через некоторый интервал времени Т, получим изученную ранее периодическую последовательность , которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье

с коэффициентами

Для того чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения Г. При этом, очевидно:

1. Частоты соседних гармоник окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах (2.13) и (2.14) дискретную переменную можно заменить непрерывней переменной — текущей частотой.

2. Амплитудные коэффициенты станут неограниченными, малыми из-за наличия величины Т а знаменателе формулы (2.14).

Наша задача состоит теперь в нахождении предельного вида формулы (2.13) при

Понятие спектральной плотности сигнала.

Воспользуемся тем, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексносопряженные пары:

Каждой такой паре отвечает гармоническое колебание

с комплексной амплитудой .

Рассмотрим малый интервал частот образующий окрестность некоторого выбранного значения частоты . В пределах этого интервала будет содержаться отдельных пар спектральных составляющих, Частоты которых отличаются сколь угодно мало. Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами

В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала

Функция

носит название спектральной плотности сигнала Формула (2.16) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала.

Физический смысл понятия спектральной плотности.

Интерпретацию полученных результатов удобно провести, перейдя от угловой частоты со к циклической частоте . При этом формула (2.15) приобретет вид

Ее надо трактовать так: спектральная плотность есть коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот и отвечающей ему комплексной амплитудой гармоническогосигнала с частотой Коэффициент означает, что вклад в амплитуду дают в равной мере положительные и отрицательные частоты, образующие окрестности точек

Принципиально важно, что спектральная плотность — комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных синусоид. На векторной диаграмме непериодического сигнала (рис. 2.5) длины элементарных векторов бесконечно малы, поэтому вместо ломанных линий (Т конечно) получаются гладкие кривые . Если на оси частот взять некоторую последовательность равноотстоящих точек то модуль спектральной плотности установит линейный масштаб вдоль кривых: чем брлыпе модуль спектральной плотности в заданной области. частот, тем реже будут располагаться частотные точки на векторной диаграмме.

Рис. 25. Векторная диаграмма непериодического сигнала (справа изображена зависимость модулу спектральной плотности от частоты)

Данная диаграмма построена для некоторого фиксированного момента времени; с течением времени конфигурация кривых будет изменяться весьма сложным образом, поскольку чем выше частота, тем с большей угловой скоростью будут вращаться соответствующие участки кривых. Однако фактически важна не форма кривой, а лишь проекция на горизонтальную ось, ее конечной точки (см, рисунок).

Обратное преобразование Фурье.

Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.

Положим вновь, что непериодический сигнал получается из периодической последовательности, когда ее период устремляется к бесконечности. Воспользовавшись формулами (2.13) и (2.14), запишем

Входящий сюда коэффициент 1/Т пропорционален разности между частотами соседних гармоник:

при любом целом . Таким образом,

Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом

Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t).

Сформулируем окончательно фундаментальный результат: сигнал и его спектральная плотность взаимнооднозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:

Метод спектральных разложений чрезвычайно обогащает теорию сигналов. Например, часто математическая модель сигнала, представленная функцией s(t), т. е. во временной, области, сложна и недостаточно наглядна. В то время описание этого сигнала в частотной области посредством функции может оказаться простым.

Однако гораздо важнее другое: спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем. Эти методы будут подробно изучены в гл. 8 и 9.

Условие существования спектральной плотности сигнала.

В математике детально исследован вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция s(t) для того, чтобы ее преобразование Фурье действительно существовало.

Опуская доказательство [7], приведем окончательный результат: сигналу s(t) можно сопоставить его спектральную плотность в том случае, если этот сигнал абсолютно интегрируем, т. е. существует интеграл

Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указанном классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала и , существующего на всей бесконечной оси времени.

Однако в современной математике разработаны приемы, позволяющие разумным образом вычислять спектральные плотности неинтегрируемых сигналов. Правда, при этом оказывается, что такие спектральные плотности будут уже не обычными, классическими, а обобщенными функциями. Вопрос о спектральном представлении неинтегрируемых сигналов будет рассмотрен в этой главе позднее.

А теперь на конкретных примерах изучим технику вычисления спектральных плотностей импульсных колебаний.

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса.

Пусть данный сигнал s(t) имеет амплитуду длительность и располагается симметрично относительно начала отсчета времени. На основании формулы (2.16)

Спектрально плотность рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты. Удобно ввести безразмерную переменную и окончательно представить результат так:

Отметим, что значение спектральной платности на нулевой частоте равно площади импульса: . График, построенный по формуле (2.20) изображен на рис. 2.6.

Рис. 2.6. График нормированной спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса как функция параметра

Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса.

Рассмотрим сигнал, описываемый функцией при положительном вещественном значении параметра а.

Такой сигнал, строго говоря; лишь условно можно назвать импульсом из-за его поведения при Однако условие обеспечивает достаточно быстрое (экспоненциальное) уменьшение мгновенных значений сигнала с ростом времени. Эффективную длительность подобных импульсов в радиотехнике обычно определяют из условия десятикратного уменьшения уровня сигнала: откуда

Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса

Подставляя пределы, имеем

Можно отметить две принципиальные особенности, отличающие спектральную плотность экспоненциального колебания от спектра импульса прямоугольной формы:

1. В соответствии с формулой (2.21) величина не обращается в нуль ни при каком конечном значении частоты.

2. Спектральная плотность экспоненциального импульса есть комплекснозначная функция имеющая модуль (амплитудный спектр) и аргумент (фазовый спектр)

Соответствующие графики представлены на рис. 2.7, а, б.

Спектральная плотность гауссова видеоимпульса.

Данный сигнал описывается функцией вида

Эффективную длительность гауссова импульса определим из, условия десятикратного уменьшения мгновенного значения сигнала.

Рис. 2.7. Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса: а — нормированный амплитудный спектр: б — фазовый спектр

Обратившись к чертежу, видим, что длительность , должна удовлетворять соотношению преобразуя которое получаем

Спектральная плотность рассматриваемого импульса

(2.23)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы можно было воспользоваться табличным интегралом

Для этого из показателя экспоненты в (2.23) выделим полный квадрат:

Таким образом,

Введем новую переменную такую, что Это позволяет представить искомую спектральную плотность в виде

откуда окончательно имеем

Итак, спектральная плотность гауссова импульса вещественна и описывается гауссовой функцией частоты.

Спектральная плотность дельта-функции.

Пусть сигнал представляет собой короткий импульс, сосредоточенный в точке имеющий площадь А.

Такой сигнал имеет математическую модель . Спектральная плотность этого сигнала

На оснований фильтрующего свойства дельта-функции (см. гл. 1) входящий сюда интеграл численно равен значению классической функции в точке, где сосредоточена обобщенная функция. Поэтому

(2.25)

Итак, дельта-импульс имеет равномерный спектр на всех частотах. Интересно интерпретировать этот результат на лзекториой диаграмме рис. 2.5. В момент возникновения импульса все элементарные гармонические составляющие складываются когерентно, поскольку в соответствии с (2.25) спектральная плотность вещественна. Амплитуды этих составляющих при увеличении частоты не убывают (ср. с предыдущими примерами). Таким образом, при t = 0 наблюдается бесконечно большое значение сигнала. Во все другие моменты времени сигнал будет обращаться в нуль, так как векторная сумма (см. рис. 2.5) «свертывается» в точку.

Связь меизду длительностью импульса и шириной его спектра.

Если проанализировать частные случаи, изученные выше, то можно сделать очень важный вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр.

Под шириной спектра здесь и в дальнейшем будем понимать частотный интертал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед заданного уровня, например изменяется в пределах от до

Рассмотрим прямоугольный видеоимпульс, полагая при этом, что верхняя граничная частота спектра со — это частота, соответствующая первому нулю спектральной плотности. Нетрудно видеть, что

Обратившись к экспоненциальному видеоимпульсу, можно условно положить, что на верхней граничной частоте модуль спектральной плотности уменьшается в 10 раз по отношению к максимальному значению. Отсюда следует [см. (2.20) и ниже], что

а значит, .

Поскольку эффективная длительность экспоненциального импульса произведение .

Наконец, спектр дельта-импульса, имеющего бесконечно малую длительность, неограниченно протяжен.

Итак, произведение ширины спектра импульса на его длительность есть постоянное число, зависящее только от формы импульса и, как правило, имеющее порядок единицы:

Это соотношение имеет первостепенное значение для радиотехники. Оно определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. Например, чем короче длительность импульса, тем шире должна быть полоса пропускания соответствующего усилителя. Короткие импульсные помехи имеют широкий спектр и поэтому могут ухудшать условия радиоприема в значительной полосе частот.