Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром

Как известно (см. гл. 2), для восстановления сигнала по его спектру необходимо учитывать все составляющие с частотами, лежащими в интервале от нуля до бесконечности. Однако с физической точки зрения такая процедура принципиально неосуществима. К тому же вклад спектральных составляющих при пренебрежимо мал в силу ограниченности энергии сигналов. Наконец, любое реальное устройство, предназначенное для передачи и обработки сигналов, имеет конечную ширину полосы пропускания.

Поэтому вполне реалистичной представляется математическая модель сигнала, имеющая такое свойство: спектральная плотность колебания отлична от нуля лишь в пределах некоторой полосы частот конечной протяженности. В радиотехнике подобный сигнал называют сигналом с ограниченным спектром.

5.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром

Пусть R — конечный отрезок осн частот. Спектральная плотность сигнала с ограниченным спектром удовлетворяет условиям при при всех других значениях частоты.

Математическую модель сигнала с ограниченным спектром во временной области можно получить из формулы обратного преобразования Фурье:

В зависимости от выбора отрезка R и функции возникают самые разнообразные виды сигналов с ограниченным спектром. Изучим некоторые простейшие примеры.

Идеальный низкочастотный сигнал.

Рассмотрим колебание с постоянной вещественной спектральной плотностью в пределах отрезка оси частот от нуля до верхней граничной частоты вне этого отрезка спектральная плотность сигнала обращается в нуль:

Мгновенные значения такого сигнала

Будем называть такое колебание идеальным низкочастотным сигналом (ИНС), подчеркивая этим простейший вид его спектра по сравнению со спектрами других возможных сигналов подобного рода.

График ИНС, построенный по формуле (5.3), имеет вид осциллирующей кривой, четной относительно начала отсчета времени. С увеличением верхней граничной частоты спектра возрастают как центральный максимум, так и частота осцилляций.

ИНС более общего вида получается, если в формулу (5.2) ввести фазу спектральной плотности, линейно зависящую от частоты:

Спектральной шютностй (5.4) соответствует низкочастотный сигнал

смещенный во времени относительно сигнала (5.3) на (0 секунд.

ИНС является идеализированной выходной реакцией фильтра нижних частот (ФНЧ), возбуждаемого колебанием с равномерной по частоте спектральной плотностью, т. е. дельта-импульсом.

Идеальный полосовой сигнал.

Исследуем математическую модель сигнала, спектр которого ограничен полосами частот шириной каждая с центрами на частотах . Если в пределах этих полос спектральная плотность сигнала постоянна:

то по аналогии с предыдущим данный сигнал будем называть идеальным полосовым сигналом (ИПС).

Мгновенные значения ИЦС найдем, используя обратное преобразование Фурье:

Строя график ИПС, обнаруживаем, что здесь наряду с высокочастотными осцилляциями на частоте наблюдается изменение во времени мгновенного значения их амплитуды. Функция с точностью до масштабного коэффициента играет роль медленной огибающей ИПС.

Теоретически возможный способ получения ИПС очевиден: на вход идеального полосового фильтра, пропускающего лишь колебания с частотами в пределах полосы должно быть подано широкополосное воздействие вида дельта-импульса.

Ортогональные сигналы с ограниченным спектром.

Свойство ограниченности спектра позволяет находить интересные и важные классы ортогональных сигналов. Простейший пример — два ортогональных полосовых сигнала, области существования спектра которых не пересекаются. Равенство нулю скалярного произведения этих сигналов непосредственно следует из обобщенной формулы Рэлея.

Менее очевидный способ ортогонализации сигналов с ограниченным спектром заключается в их временном сдвиге. Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала и Оба эти сигнала имеют одинаковые параметры [см. формулу (5.2)], однако сигнал u(t) запаздывает по отношению к сигналу и на время так что его спектральная плотность .

Скалярное произведение этих сигналов, вычисленное через спектральные плотности,

Скалярное произведение обращается в нуль и два одинаковых по форме ИНС оказываются ортогональными, если временной сдвиг между ними удовлетворяет условию

Минимально возможный сдвиг, приводящий к ортогонализации, получается при :

Принципиально важно, что удалось не просто добиться ортогональности двух сигналов. Указан путь построения бесконечного ортогонального базиса, который может служить координатной системой для разложения произвольного сигнала со спектром, ограниченным частотой

Графики рассматриваемых сигналов при двух значениях параметра изображены на рис. 5.1, а, б.

Рис. 5.1. График двух идеальных низкочастотных сигналов: а — при ; б — при