1.7. Соотношения, связанные с кривой на поверхности
Пусть 
-регулярная поверхность, отнесенная к параметризации 
-регулярная кривая на поверхности, проходящая через точку 
и отнесенная к естественной параметризации 
Введем на С в рассмотрение триэдр единичных ортогональных векторов 
правой ориентации, удовлетворяющих условиям
Здесь 
единичные векторы тангенциальной нормали и касательной к кривой; 
-единичный вектор нормали к 
Векторы 
представимы в виде разложений по векторам основного и взаимного базисов
причем формулы, обратные (1.31), имеют вид
По определению
следовательно,
Базисные векторы на поверхности связаны между собой зависимостями
в которых 
и контравариантные компоненты дискриминантного тензора поверхности о соответственно, вычисляемые по формулам
Используя первую формулу из (1.30), с учетом соответствующей формулы из (1.33) находим
откуда следует, что
На кривой С любой вектор а может быть представлен в виде разложения по векторам триэдра 
Дифференцирование представленного таким разложением вектора по аргументу 
сводится к дифференцированию векторов 
по этому аргументу. Такое дифференцирование выполняется по формулам
Входящие сюда величины 
носят название нормальной кривизны поверхности в точках кривой С в направлении 
и геодезического кручения, а величина 
называется геодезической кривизной, характеризующей отклонение главной нормали кривой С, лежащей на поверхности, от нормали к этой поверхности. Для их вычисления имеют место формулы
-символ ковариантной производной по метрике 
на 
.
к содержатся в соотно шениях [29, 110], описывающих деформацию граничного контура оболочки и стержней, подкрепляющих оболочку вдоль некоторой кривой С. Для их определения требуется предварительно вычислить величины 
по первой формуле из (1.32), что требует задания уравнения кривой 
а затем произвести соответствующие вычисления по приведенным выше формулам.