6.7. Кривая на поверхности сложной формы

Пусть -регулярная поверхность сложной формы, а -регулярная кривая на этой поверхности. Если а отнесена к параметризации (5.64), то кривой на поверхности отсчета соответствует некоторая кривая Предположим, что последняя отнесена к естественной параметризации и на ней введен в рассмотрение триэдр единичных ортогональных векторов удовлетворяющих условиям

Здесь п°, -единичные векторы таигенциалыюй нормали и касательной к кривой причем

Согласно принятому способу параметризации поверхности уравнение кривой С выражается равенством

где -расстояние между точками заданное как функция от аргумента . В каждой точке кривой С, как и в других точках поверхности , можно ввести в рассмотрение поверхность , параллельную поверхности отсчета При этом элементу кривой взаимнооднозначно соответствует элемент кривой С, лежащей на а и проходящей через точку Уравнение этой кривой, очевидно, также выражается равенством

в котором в отличие от (6.91) величина при дифференцировании (6.92) по аргументу должна рассматриваться как постоянная.

Таким образом, в каждой точке кривой С наряду с триэдром вводится в рассмотрение триэдр единичных векторов в котором -единичные векторы тангенциальной нормали и касательной к кривой Для определения вектора служит формула

которая с учетом (6.90) принимает вид

С другой стороны, для вектора справедливо разложение

следовательно,

Исходя из (6.92) можно получить также выражение

используя при этом формулу дифференцирования вектора по аргументу

Возведя обе части равенства (6.95) в квадрат и принимая при этом во внимание (6.89), находим

где обозначено

Следовательно,

и в соответствии с окончательно имеем

или

После определения компонент входящие в разложения величины вычисляются но формулам

Обратимся теперь к векторному равенству (6.91). Дифференцируя обе его части но аргументу имеем

откуда по аналогии с (6.96) следует формула

где с учетом (6.96)

В результате между единичными векторами касательных к кривым устанавливается зависимость вида

С другой стороны, справедливы преобразования

откуда для определения с учетом (6.96), (6.97) и (6.99) находим выражение

По аналогии с (6.98) теперь можем записать формулы

где приняты во внимание соотношения (5.69), (5.75), (5.76) и (5.78), а с помощью разложения исходя из (5.88) устанавливаем зависимость между вектором и единичными векторами триэдра

в которой величины определяются по формулам (6.98), а

И, наконец, используя выражения (6.100), (6.103) и формулы

для вектора в точке находим выражение

После определения величин в каждой точке по формулам (1.36), (1.38) могут быть вычислены параметры которые входят в основные соотношения теории стержней, подкрепляющих оболочку.

Предположим, что функция Я, входящая в (5.64), (6.91), удовлетворяет условиям пологости относительно выраженным соотношениями (6.55), (6.62). Так как то в силу для в данном случае справедливы оценки

с учетом которых в соответствии с формулами находим

Здесь также принято во внимание, что при выполнении условий пологости .