4.8. Об оптимальных сетках

Как было отмечено ранее, узлы оптимальной сетки должны быть расположены так, чтобы при заданном числе узлов обеспечивалась наибольшая точность решения задачи механики. Для этого рассмотрим функционал решаемой задачи механики и выполним его модификацию на основании сеточного уравнения (4.16), получим

где —дискретный функционал МКЭ решаемой задачи механики, в котором компоненты метрических тензоров вычисляются на сетке с применением интерполяции пространства в области член вследствие ограничения на сетку -искомый столбец значений функций перемещений решаемой задачи механики; А — матрица системы уравнений (4.16); -столбцы согласно (4.16):

-вектор-столбец множителей Лагранжа в соответствии с системой (4.16); -столбец, составленный из компонент тензора весовых параметров для ячеек расчетной сетки А.

Из условий стационарности функционала (4.28) получается система нелинейных алгебраических уравнений для определения Отметим, что если решаемая задача механики линейная, то функционал в (4.28) при заданном X становится квадратичным и из него следует система линейных алгебраических уравнений для нахождения Функционал в (4.28) при фиксированном становится билинейной формой. Это позволяет построить процесс последовательного нахождения оптимальной сетки А по такой схеме: задавать начальное значение затем по нему находить из системы (4.16). Далее подстановка в позволяет решить задачу механики на сетке По известным и заданном (как штрафной функции) можно найти новое значение пока сетка А не улучшится.

Следует отметить, что на практике возникают еще следующие требования при построении оптимальных сеток: сетка должна быть как можно ближе к ортогональной, ячейки сетки должны быть по возможности равновеликими. Первое требование возникает для сеток, узлы которых расположены на координатных линиях, и может быть сформулировано в виде

Вводя условие (4.29) в функционал решаемой задачи механики или в (4.10) методом множителей Лагранжа, получим оптимальную почти ортогональную сетку.

Условие равновеликости ячеек сетки записывается в виде

где -объем исследуемой области тела -число ячеек сетки

Условия (4.30) также вводятся в (4.10) или в функционал решаемой задачи механики методом множителей Лагранжа. Отметим, что условия (4.29), (4.30) приводят к нелинейным системам при решении задачи построения сеток.

Естественно, что методы построения оптимальных (в некотором смысле) сеток существенно усложняют общий алгоритм решения задачи. Применять их следует, для сложных задач механики, имеющих большие затраты машинного времени ЭВМ при реализации собственно алгоритма задачи механики, когда алгоритм построения оптимальной сетки занимает незначительную долю от общих затрат машинного времени для достижения окончательного результата.