7.3. Параметризация произвольной четырехугольной области на плоскости с прямолинейными сторонами прямоугольными декартовыми координатами

Вернемся в данном разделе к задаче параметризации области в виде произвольного четырехугольника с прямолинейными сторонами, рассмотренной в разделе 7.1. Здесь для ее решения применим метод, изложенный в разделе 7.2.

Пусть рассматриваемая область относительно осей прямоугольной декартовой системы координат к которой отнесена плоскость а, расположена, как показано на рис. 7.6, и заданы координаты точек

Выберем в качестве фиктивной прямоугольную область, контур которой ограничен координатными линиями Следовательно, а уравнение (7.17) при этих обозначениях запишется в виде

где -орты декартовых координат; х, у — координаты произвольной точки отображающейся в точку функции, подлежащие определению. Представим их в виде

где -постоянные коэффициенты. Потребуем, чтобы образом точки с координатами явилась точка А, точки с -точка В, точки с -точка С и точки с -точка Эти условия будут выполнены, если положить

Подчиняя (7.31) условиям (7.32), получим системы алгебраических уравнений для определения коэффициентов

Решив эти системы, получим

следовательно,

Можно показать, что координатными линиями в построенной параметризации являются два семейства прямых, соединяющих между собой равномерно распределенные точки сторон АВ

Рис. 7.7

Рис. 7.8

и с соответствующими равномерно распределенными точками противоположных сторон и соответственно.

Действительно, записывая очевидные равенства, следующие из (7.30),

где х, у — декартовы координаты точки в параметризации плоскости уравнением

и полагая для определенности получим

Исключая из системы (7.38) переменную у, приходим к уравнению

которое является уравнением прямой, проходящей через две точки

делящие отрезки и пополам.

Параметризация четырехугольной области с прямолинейными сторонами уравнением (7.30), в котором определены равенствами (7.36), вообще говоря, заменяет как параметризацию (7.14) такой же области бицентрическимк координатами, так и параметризацию (7.5) области в виде параллелограмма косоугольными декартовыми координатами (если положить рис. 7.7), а также параметризацию треугольной или трапециевидной областей полярно-косоугольными координатами (если приняты условия рис. 7.8). Заметим, однако, что при параметризации треугольной области точка как и в разделе 7.1, является вырожденной, так как ей соответствует бесконечное множество точек отрезка координатной оси

Для практического использования отображения (7.30) области на область удобнее в дальнейшем положить (рис. 7.9)

При этом формулы (7.35) примут вид

следовательно,

и в соответствии с (7.37)

Вычислим якобиан отображения (7.41)

Легко показать, что якобиан д(х, у/д(х, у), определяемый по формуле (7.42), оказывается равным нулю, если область Я (см. рис. 7-8) является треугольной. Так, например, при с учетом формул (7.39) выражение (7.42) принимает вид

откуда следует, что точка является вырожденной. Аналогичным образом при имеем

следовательно, в этом случае вырожденной является точка

Внося выражения (7.40) в (7.19), полагая в них и учитывая, что в данном случае

найдем

В силу равенств (7.43) согласно формулам (7.20) ковариантные компоненты первого метрического тензора в точкахобласти равны

Рис. 7.9

где, как следует из (7.21) и (7.44),

Пользуясь формулами (7.45), с учетом (7.46) вычислим символы Кристоффеля которые равны

где

Пример применения построенной в данном разделе параметризации области для анализа напряженно-деформированного состояния трехслойных и однослойных пластин иллюстрируется в работе [68].