Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
7.3. Параметризация произвольной четырехугольной области на плоскости с прямолинейными сторонами прямоугольными декартовыми координатами
Вернемся в данном разделе к задаче параметризации области в виде произвольного четырехугольника с прямолинейными сторонами, рассмотренной в разделе 7.1. Здесь для ее решения применим метод, изложенный в разделе 7.2.
Пусть рассматриваемая область относительно осей прямоугольной декартовой системы координат к которой отнесена плоскость а, расположена, как показано на рис. 7.6, и заданы координаты точек
Выберем в качестве фиктивной прямоугольную область, контур которой ограничен координатными линиями Следовательно, а уравнение (7.17) при этих обозначениях запишется в виде
где -орты декартовых координат; х, у — координаты произвольной точки отображающейся в точку функции, подлежащие определению. Представим их в виде
где -постоянные коэффициенты. Потребуем, чтобы образом точки с координатами явилась точка А, точки с -точка В, точки с -точка С и точки с -точка Эти условия будут выполнены, если положить
Подчиняя (7.31) условиям (7.32), получим системы алгебраических уравнений для определения коэффициентов
Решив эти системы, получим
следовательно,
Можно показать, что координатными линиями в построенной параметризации являются два семейства прямых, соединяющих между собой равномерно распределенные точки сторон АВ
Рис. 7.7
Рис. 7.8
и с соответствующими равномерно распределенными точками противоположных сторон и соответственно.
Действительно, записывая очевидные равенства, следующие из (7.30),
где х, у — декартовы координаты точки в параметризации плоскости уравнением
и полагая для определенности получим
Исключая из системы (7.38) переменную у, приходим к уравнению
которое является уравнением прямой, проходящей через две точки
делящие отрезки и пополам.
Параметризация четырехугольной области с прямолинейными сторонами уравнением (7.30), в котором определены равенствами (7.36), вообще говоря, заменяет как параметризацию (7.14) такой же области бицентрическимк координатами, так и параметризацию (7.5) области в виде параллелограмма косоугольными декартовыми координатами (если положить рис. 7.7), а также параметризацию треугольной или трапециевидной областей полярно-косоугольными координатами (если приняты условия рис. 7.8). Заметим, однако, что при параметризации треугольной области точка как и в разделе 7.1, является вырожденной, так как ей соответствует бесконечное множество точек отрезка координатной оси
Для практического использования отображения (7.30) области на область удобнее в дальнейшем положить (рис. 7.9)
При этом формулы (7.35) примут вид
следовательно,
и в соответствии с (7.37)
Вычислим якобиан отображения (7.41)
Легко показать, что якобиан д(х, у/д(х, у), определяемый по формуле (7.42), оказывается равным нулю, если область Я (см. рис. 7-8) является треугольной. Так, например, при с учетом формул (7.39) выражение (7.42) принимает вид
откуда следует, что точка является вырожденной. Аналогичным образом при имеем
следовательно, в этом случае вырожденной является точка
Внося выражения (7.40) в (7.19), полагая в них и учитывая, что в данном случае
найдем
В силу равенств (7.43) согласно формулам (7.20) ковариантные компоненты первого метрического тензора в точкахобласти равны
Рис. 7.9
где, как следует из (7.21) и (7.44),
Пользуясь формулами (7.45), с учетом (7.46) вычислим символы Кристоффеля которые равны
где
Пример применения построенной в данном разделе параметризации области для анализа напряженно-деформированного состояния трехслойных и однослойных пластин иллюстрируется в работе [68].