6.3. Условия пологости поверхности сложной формы относительно поверхности отсчета, отнесенной к ее линиям кривизны

Соотношения теории оболочек имеют наиболее простой вид, если срединная поверхность оболочки отнесена к ортогональным координатам. Поэтому важно установить те условия и ограничения на функцию и ее производные, при выполнении которых координатные линии являющиеся образом координатных линий можно считать ортогональными. Изучение данного вопроса начнем с рассмотрения случая, соответствующего отображению поверхности а на поверхность отсчета отнесенную к ее линиям кривизны.

Используя формулы (5.139), найдем параметры Ляме на а

и угол между координатными векторами

где

Из формул (6.38) следует, что, накладывая на величины ограничения

можно допустить выполнение приближенных равенств

При этом в соответствии с (6.38) и (6.37) с точностью

Выясним геометрический смысл коэффициентов Для этого, используя (5.130) и учитывая равенства

составим формулы

откуда следует, что коэффициентами определяются тангенсы углов между векторами на поверхности отсчета и векторами на поверхности а.

Таким образом, если во всех точках определения координат тангенсы углов между базисными векторами на поверхности

отсчета и базисными векторами на поверхности а ограничены неравенствами (6.40), то семейство координатных линий можно считать почти ортогональным. В этом случае, как следует из (6.43), первая метрическая форма поверхности а почти совпадает с первой метрической формой поверхности а, проведенной через рассматриваемую точку эквидистантно поверхности отсчета

Если в качестве принять плоскость и отнести ее к декартовым координатам, то условия (6.40) в силу вырождаются в известные условия пологости поверхности а относительно плоскости Поэтому сформулированные условия (6.40) приближенной ортогональности базисного вектора базисному вектору и локальной изометричности преобразования поверхности а в поверхность проведенную через рассматриваемую точку эквидистантно поверхности можно назвать условием пологости поверхности сложной формы относительно поверхности отсчета.

При выполнении условий (6.40) в каждой точке поверхности а можно ввести в рассмотрение приближенные выражения для единичных векторов и вектора единичной нормали к а, принимающие согласно формулам (5.130) и (5.133) следующий вид:

В силу (6.41) упрощаются также и формулы (5.136), (5.138), (5. 139),

а символы Кристоффеля в соответствии с (6.43), (6.47) и (6.48) оказываются равными

где величины определяются по формулам (5.140).

Найдем приближенные формулы для производных единичных векторов определенных равенствами (6.45). Для этого, внося в первую формулу из (1.23) при величины

а также символы Кристоффеля из (5.140), находим первые две формулы дифференцирования

Входящие сюда кривизны и кручение координатных линий в соответствии с формулами из (6.40), а также формулами (6.46), преобразованными с использованием условий Кодацци

будут определяться выражениями

Запишем в развернутой форме вторую формулу из (1.23)

Для входящих сюда компонент имеют место формулы

которые при выполнении ограничений (6.40) с учетом (6.42) и (6.43) принимают вид

Внося эти формулы, а также первые два равенства из (6.50) в (6.53), получаем интересующую нас приближенную формулу дифференцирования

Следует заметить, что формулы (6.51) и (6.54) здесь получены без введения каких-либо ограничений на вторые производные от функции Я. В следующем разделе показано, что с точностью ими можно пользоваться лишь в тем случае, когда вторые производные от функции удовлетворяют дополнительным требованиям вида (6.27).