6.5. О некоторых особенностях отображения поверхности отсчета, отнесенной к произвольным ортогональным координатам, на поверхность сложной формы

В ряде случаев при параметризации срединной поверхности оболочки сложной формы в качестве поверхности отсчета приходится выбирать поверхность, отнесенную к произвольным ортогональным координатам. В частности, к данному классу оболочек относятся частные виды лопаток турбин и компрессоров, лопасти вентиляторов и гребных винтов судов, на срединную поверхность которых удобно отображается прямой геликоид, у которого при известной параметризации [107] ортогональными криволинейными координатами кривизны координатных линий равны нулю, а кручение связи с этим рассмотрим некоторые особенности отображения на поверхность сложной формы поверхности отсчета, отнесенной к произвольным ортогональным координатам.

На поверхности отнесенной к произвольным ортогональным координатам формулы дифференцирования вектора по имеют вид

Используя эти формулы, продифференцируем векторное равенство (5.64) по

и найдем ковариантные компоненты первого метрического тензора поверхности

Представим единичный вектор нормали к от по-прежнему в виде разложения

Для определения входящих сюда неизвестных коэффициентов разложения в рассматриваемом случае приходим к системе алгебраических уравнений

откуда находим

где в данном случае

Используя формулы (6.75), а также соотношения

из (6.78) найдем производные

Внося эти выражения, а также (6.76) в формулы вычислим ковариантные компоненты второго метрического тензора поверхности а:

Возможно два варианта упрощения полученных формул. Первый из них применим для такого класса поверхностей расстояние между которыми удовлетворяет лишь условиям

В этом случае, как и в разделе 6.4, в каждой точке поверхность а почти изометрична поверхности а, проведенной через рассматриваемую точку эквидистантно поверхности отсчета. Упрощения, соответствующие этому случаю, связаны с пренебрежем нием в (6.77) последними слагаемыми

и с возможностью представления (6.79) в виде формул

имеющих место в силу выполнения приближенного равенства

и оценок

Как следует из (6.81), в силу при выполнении условий не равно нулю, так как

поэтому координатные линии соответствующие не ортогональны. Так же как и в разделе 6.4, в данном случае с принятой степенью точности ковариантные производные по метрике в силу (6.81), очевидно, можно заменить ковариантными производными по метрике

Второй вариант упрощений полученных формул базируется на введении дополнительных условий, накладываемых на функцию , при выполнении которых координатные линии о приближенно можно считать ортогональными.

Запишем выражения (6.77) в развернутой форме

где

Из (6.82) следует, что координатные векторы можно считать приближенно ортогональными, если имеет место неравенство

которое, очевидно, будет выполнено лишь тогда, когда величины удовлетворяют условиям

В том случае, когда (например, в частном, случае для прямого геликоида второе условие из (6.83) может быть выполнено лишь при выполнении сильного ограничения

При этом с точностью из (6.82) следуют приближенные равенства

Таким образом, при выполнении условий (6.83) на поверхности о, находящейся в общей параметризации с поверхностью, отсчета, отнесенной к произвольным ортогональным координатам, координатные линии являются почти ортогональными, а параметры Ляме на ней мало отличаются от параметров Ляме на поверхности отсчета. Оболочки с такой срединной поверхностью аналогичны слегка искривленным пластинам, при расчете которых первую метрическую форму их срединной поверхности отождествляют с метрической формой плоскости отсчета, а вторую квадратичную форму определяют по известной форме отклонения о от плоскости