4.2. Применение интегроинтерполяционного метода для построения сеток

В целях упрощения изложения рассмотрим задачу построения плоских сеток.

В случае, когда сетка А выбрана таким образом, что образует прямоугольные ячейки, для решения задачи (4.1), (4.2)

наиболее эффективны классические разностные методы [5, 7, 47, 52, 105]. Если сетка содержит произвольные треугольные ячейки, то классический метод конечных разностей неприменим для численного решения поставленной задачи. В этом случае более удобен интегроинтерполяционный метод получения разностных уравнений [93— 95, 100]. Интегроинтерполяционный метод наиболее просто применяется для уравнения (4.1) при Рассмотрим построение сеток на основе получающегося при этом уравнения, которое запишется в виде

где радиус-вектор произвольной точки области -весовая скалярная функция; -двумерная сеть параметров в области -двумерная область изменения параметров -управляющая вектор-функция.

Краевые условия для (4.3) примем в виде

где -граница области -заданная вектор-функция, определяющая отображение на в соответствии с выбранной сетью параметров.

Рис. 4.2

Пусть в области задана сетка с треугольными ячейками. Рассмотрим произвольный внутренний узел и ячейки сетки, содержащие этот узел (рис. 4.2). Выделим в окрестности узла некоторую подобласть и применим операцию интегрирования к обеим частям уравнения (4.3) по этой подобласти [100, 104]. В результате получим

где -внешняя нормаль к контурной линии подобласти -число узлов сетки А, лежащих на контурной линии

Для построения сетки достаточно принять средние значения величин в пределах подобласти Найдем для треугольных ячеек сетки центры окружностей, описанных вокруг них.

Примем в качестве подобласть в виде многоугольника, образованного прямыми линиями, соединяющими центры окружностей для ячеек сетки, содержащих узел согласно рис. 4.2. Тогда для вычисления производных в уравнении (4.5) - можно

принять

где — длина отрезка между узлами -множество номеров узлов сетки А, находящихся на углах звезды треугольников с центральным узлом

Подставляя (4.6) в уравнение (4.5), получим следующее векторное конечно-разностное уравнение:

где

-площадь многоугольника, соответствующего подобласти - длина стороны многоугольника, пересекающей отрезок под прямым углом; -множество номеров контурных узлов сетки А, находящихся на углах звезды треугольников с центральным узлом

Система уравнений (4.7) образует полную систему линейных алгебраических уравнений для нахождения значений определяющих внутренние узлы сетки А.

В ряде случаев необходимо знать величины на контуре Для получения дополнительных уравнений запишем выражение (4.5) для подобластей, прилегающих к контурным узлам:

где — граница подобласти совпадающая с границей области граница подобласти проходящая внутри (см. рис. 4.2).

Рис. 4.3

В пеовом слагаемом выражения (4.8) под знаком интеграла стоит неизвестная величина которую принимаем постоянной в предэлах Подставляя в (4.8) выражения (4.6), получим следующие дополнительные уравнения:

где

-площадь многоугольника, соответствующая подобласти которая выделена в окрестности контурного узла сетки -длина стороны многоугольника, перпендикулярной отрезку контурной линии; -длина стороны многоугольника, совпадающей с отрезком контурной линии для области О.

Объединяя системы (4.7) и (4.9), получим полную систему линейных алгебраических уравнений для нахождения . Так как система (4.7) не зависит от системы (4.9), то можно сначала решить систему (4.7) и результат ее решения подставить в выражения (4.9), которые в этом случае превращаются в уравнения связи между искомыми величинами и позволяют несложно вычислить значения в граничных точках сетки .

Следует отметить, что рассматриваемый вариант интегроинтерполяционного метода позволяет совместно с треугольными ячейками вводить и прямоугольные произвольно ориентированные ячейки сетки А. Выбор подобластей для внутреннего и контурного узлов при этом показан на рис. 4.3. Для прямоугольной ячейки также необходимо рассмотреть центр описанной окружности, который является угловой точкой многоугольника в окрестности рассматриваемого узла сетки.

Интегроинтерполяционный метод в варианте [93—95] применим для общего случая уравнения (4.1). В этом варианте требуется применение аппроксимирующих функций МКЭ, и метод в целом становится вариантом МКЭ.