2.8. Некоторые способы выбора параметра при построении численных алгоритмов аппроксимации линий

При параметрическом задании кривых параметр может быть выбран множеством способов, лишь бы выполнялось условие (1.4) и обеспечивалось локально топологическое отображение точек на линии параметров с точками на кривой .

1. Пусть шаг узлов на сетке А постоянен, Тогда упрощаются многие расчетные формулы при построении интерполирующих кривых. В случае когда шаг узлов сетки постоянен и равен происходит дальнейшее упрощение расчетных формул и выражений.

2. Пусть шаг узлов на сетке А определяется выражением

Тогда линией параметров является ломаная, соединяющая интерполируемые значения кривой а.

3. Пусть параметром является длина дуги линии а. Тогда шаг узлов определяется следующим нелинейным уравнением:

где аппроксимирующая вектор-функция на интервале

Задача интерполяции в этом случае становится нелинейной, так как искомые коэффициенты входят в нелинейное уравнение (2.79). Назовем систему, из которой определяются искомые коэффициенты интерполирующей функции при известной заранее сетке узлов А, основной системой. Например, при нахождении алгебраического интерполяционного многочлена основной системой является система (2.4), при построении экспоненциального сплайна основной системой является система (2.66).

Система уравнений (2.79) совместно с основной образует полную нелинейную систему векторных алгебраических уравнений, решение которой может быть выполнено известными численными методами. Наиболее удобен для решения этой системы метод последовательных приближений в следующем виде: на первом шаге вычислений задается шаг узлов согласно (2.78) и решается основная система; на втором шаге по найденной в первом приближении аппроксимирующей вектор-функции вычисляется новый шаг согласно выражениям (2.79) и решается новая основная система и т. д. до сходимости в пределах необходимой точности. Расчеты показывают, что этот процесс последовательных приближений по шагу узлов сетки А сходится после нескольких итераций, если дифференциальный оператор, соответствующий аппроксимирующей вектор-функции, положительно определенный.

4. Пусть по значениям интерполируемой вектор-функции или ее производных в разрабатываемом численном алгоритме необходимо вычислить определенные интегралы. Тогда для повышения точности вычисления интегралов естественно применить квадратурные формулы наивысшей точности. Такими являются, например, квадратурные формулы Гаусса, для применения которых узлы сетки должны быть расположены неравномерно согласно

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

определенной закономерности [5, 7, 47]. В этом случае узлы сетки для аппроксимирующей функции естественно выбрать совпадающими с узлами квадратурных формул.

5. На заданном интервале расположение узлов сетки А может быть найдено из условий минимума функционала (2.63). В этом случае обеспечивается плавность изменения метрических тензоров аппроксимирующей поверхности.

Таким образом, узлы на линии изменения параметров необходимо выбирать в каждом конкретном случае, руководствуясь целями основного расчета.