3.5. Сглаживание регулярной поверхности одномерными сплайнами

Аппроксимирующий сплайн удобно строить на основе функциональных сплайнов (2.65). Представим функционал (2.63), из которого следует сплайн (2.65), в следующем виде:

где -краевые условия для уравнения (2.62), при которых оператор симметричен и положителен; произвольные постоянные; —количество участков сплайна.

Для построения сети координатных линий аппроксимируемой поверхности рассмотрим следующий функционал, составленный на основе функционала (3.21):

где —аппроксимируемые значения радиуса-вектора поверхности -весовые множители, назначаемые в зависимости от значимости измерения; -количество разбиений интервалов соответственно;

— область изменения гауссовых параметров заданные значения радиуса-вектора поверхности значения сплайна, соответствующие заданным значениям поверхности расположенным на линиях число заданных значений радиуса-вектора поверхности

Подставляя в функционал (3.22) векторфункции согласно (2.65), (3.19) и минимизируя получившуюся квадратичную форму относительно коэффициентов сплайнов, приходим к следующей системе векторных линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов сплайнов, аппроксимирующих сеть расчетных координатных линий поверхности

где -квадратная числовая матрица порядка составленная из матриц согласно алгоритму МКЭ, как для решетчатой перекрестной системы,

-столбец порядка составленный из вектор-столбцов согласно алгоритму МКЭ в соответствии с матрицей К,

-номера узлов участка сплайна на сетке квадратная числовая матрица порядка ;

— диагональная матрица, составленная из весовых множителей; -прямоугольная матрица размерами определяемая из следующих соотношений: числовая матрица-строка, получаемая в результате подстановки в выражение для сплайна значений правая часть системы; -столбец заданных значений поверхности -столбец с краевыми условиями для сплайнов, соответствующих расчетным координатньм линиям поверхности

Для вычисления констант краевых условий, если они неизвестны, применимы изложенные в главе 2 методы для одномерных сплайнов.

Рассмотрим случай, когда в выражениях значения Тогда матрица принимает следующий вид:

где

В этом случае расчетные координатные линии поверхности будут аппроксимироваться кубическими сплайнами вида (2.22). Алгоритм построения аппроксимирующего кубического сплайна согласно уравнению (2.22) будет во многих чертах совпадать с алгоритмом определения перемещений системы перекрестных жестких балок по МКЭ в варианте перемещений [2, 39].

В случае, когда необходимо аппроксимировать аналитически заданную непараметризованную поверхность, сглаживающий функционал, аналогичный (3.22), запишется в виде

где -весовые функции, назначаемые в зависимости от значимости измерений; -аппроксимируемые значения радиуса-вектора поверхности

Построение сплайна выполняется так же, как и для функционала (3.22). Система уравнений для нахождения коэффициентов сплайна имеет вид (3.23). Матрица при этом вычисляется с применением квадратурных формул.