5.2. Деформация поверхности и ее применение для параметризации поверхностей сложной формы

Пусть некоторая регулярная поверхность заданная вектор уравнением

переходит в трехмерном пространстве в новое, деформированное состояние а. При этом каждая точка переходит в точку за счет приращения радиуса-вектора называемого вектором перемещения точки Тем самым между указанными точками устанавливается соответствие вида

которое в свете результатов раздела 1.8 представляет собой отоб» ражение поверхности на поверхность

Обозначим через основные координатные векторы, направленные по касательным к координатным линиям на а через —единичный вектор нормали к Вектор перемещений может быть разложен как по векторам основного базиса поверхности так и по векторам твзаимного базиса т. е.

Здесь -контравариантные компоненты первого метрического тензора поверхности - его ковариантные компоненты.

При отображении поверхности о, на поверхность о с помощью равенства (5.2) криволинейные координаты точки в то же время определяют положение точки координатным - линиям на о соответствуют координатные линии, которые в дальнейшем условно назовем линиями Для осуществления этого отображения согласно (5.3) в общем случае должны быть построены три двумерные функции т. е. поверхность необходимо подвергнуть некоторой деформации. Так как в целях решения задачи параметризации поверхности а такую деформацию можно осуществить чисто фиктивно, то отображение (5.2) уместно называть отображением поверхности на поверхность а методом фиктивной деформации [20, 62].

Таким образом, если требуется построить параметризацию некоторой поверхности а заданной геометрической формы, то

в соответствии с изложенным методом необходимо подобрать в трехмерном пространстве поверхность параметризованную гауссовыми координатами расположить ее соответствующим образом относительно а и подвергнуть последующей фиктивной деформации, сводящейся к построению трех двумерных функций и

Для базисных векторов имеют место формулы дифференцирования вида (1.23)

где -ковариантные компоненты второго метрического тензора на смешанные компоненты; — символы Кристоффеля второго рода на . С использованием этих формул дифференцированием (5.2) по V с учетом разложений (5.3) находим основные координатные векторы на , направленные по касательным к координатным линиям :

Здесь введены традиционные обозначения теории конечных деформаций поверхности

причем символом у] обозначено ковариантное дифференцирование по метрике на

Внося выражения (5.5) в формулы вычисляем компоненты первого метрического тензора на поверхности о, соответствующие ее параметризации векторным равенством (5.2):

Здесь -ковариантные компоненты тензора фиктивных тангенциальных деформаций поверхности определяемые по формулам

Вектор единичной нормали к поверхности а определяется выражением

где дискриминант первого метрического тензора Внося сюда выражения (5.5) и учитывая формулы для векторных произведений (1.33), после ряда преобразований получим

где введены обозначения

причем

Представим равенство (5.9) в виде

и продифференцируем обе его части по . В результате имеем

где -краткие обозначения частных производных,

Внося (5.11), (5.5) в формулы и учитывая ортогональность векторов находим ковариантные компоненты второго метрического тензора поверхности о, соответствующие ее параметризации уравнением (5.2):

Символы Кристоффеля первого рода на о определяются по формулам

Внося сюда соотношения (5.7), получим

где -символы Кристоффеля первого рода на Трехчлен в равенстве (5.14) можно представить в виде

где введены обозначения

причем

Используя эти формулы, выражение (5.14) представим в форме

Свернем обе части этого равенства с тензором . В результате согласно формулам получим выражения символов Кристоффеля второго рода поверхности

где обозначено

В соответствии с разделом 1.8 тензор третьей валентности, симметричный по нижним индексам уместно называть тензором фиктивной аффинной деформации поверхности соответствующей отображению (5.2) поверхности на поверхность о. Данный тензор позволяет установить связь между ковариантнымн производными относительно некоторого вектора а

Аналогичные формулы устанавливаются и для тензоров любой валентности.

Выведем формулы ковариантного дифференцирования координатных векторов Для этого будем рассматривать эти векторы как тензор первой валентности с векторными компонентами. Ковариантные производные таких тензоров выражаются по обычным формулам, в частности, для имеем

Но по формулам Гаусса-Вейнгартена

следовательно,

Далее, с учетом (5.16) имеем

откуда находим формулы ковариантного дифференцирования относительно метрики поверхности

Для векторов взаимного базиса имеют место формулы

Отсюда, подставляя из второго равенства в первое, находим

или, воспользовавшись (5.16), получим формулы ковариантного дифференцирования векторов взаимного базиса

Умножая (5.20) и (5.21) на для тензора получим другие формулы

отсюда, свертывая обе части первого из равенств с тензором находим

Выразим этот тензор через функции Для этого продифференцируем (5.5), применяя при этом формулы Гаусса— Вейнгартена (5.4). В результате получим

где обозначено

Подставляя (5.24) в (5.23), получим интересующие нас формулы

Тензоры симметричны. Действительно, так как то, подставляя сюда правую часть равенства (5.26), имеем

откуда усматривается симметричность тензоров (5.25)

или в развернутом виде

Последние две формулы получены свертыванием с обеих частей равенств (5.27).

Выведем, наконец, условия, при выполнении которых некоторая точка на поверхности о, параметризованной уравнением (5.2), оказывается особой. Такие условия в соответствии с разделом 1.5 могут быть получены из равенства нулю в рассматриваемой точке векторного произведения базисных векторов

Внося сюда выражения (5.5) и учитывая формулы (1.33), получим

Если в точке являющейся прообразом точки координаты независимы, то в ней Поэтому векторное равенство (5.28) при линейной независимости векторов может иметь место лишь в том случае, когда выполняются скалярные условия

Запишем выражение для единичного вектора нормали к поверхности а в следующем виде:

Умножая обе части этого равенства скалярно на получим формулу

которая после подстановки вместо их выражений (5.9) и (5.28) примет вид

Отсюда следует, что в некоторой точке поверхности о, параметризованной уравнением (5.2), дискриминант метрического тензора равен нулю, если в ней выполняются условия (5.29).