1.8. Краткие сведения из теории гладких отображений поверхностей

Если некоторая окрестность точки на поверхности приведена в однозначное соответствие с окрестностью точки на поверхности , причем точке соответствует точка то говорят, что поверхность в окрестности отображена на поверхность а в окрестности точки . Для краткости обычно говорят, что поверхность отображена на , всегда считая это отображение локальным, хотя иногда оно может отображать и всю поверхность на всю поверхность о или на некоторую ее часть. Если первая поверхность отнесена к координатам а вторая — к координатам то аналитически отображение выражается тем, что заданы как функции от

Функции (1.37) будем считать дифференцируемыми необходимое число раз в области отображения. Само отображение будет взаимно однозначным (гомеоморфным), если

т. е. якобиан является отличным от нуля во всей области отображения. Очень часто этим условием определяются границы области отображения.

В силу соотношений (1.37) каждой паре значений соответствует пара значений т. е. определенная точка на поверхности а. Таким образом, мы можем. рассматривать в качестве координат, к которым отнесена поверхность а в области отображения. Иными словами, отображение с помощью соотношений (1.37) позволяет отнести обе поверхности к общей параметризации. Векторные уравнения этих поверхностей в координатах имеют вид

а первые основные метрические формы будут выражаться формулами

Эти формы выражают квадраты соответствующих линейных размеров, а их отношение характеризует изменение длины линейного элемента в точке с азимутом при переходе к его

изображению. Обозначая это отношение через имеем [57]

Число называется коэффициентом искажения в азимуте отображения (1.38). В том случае, когда имеет место удлинение соответствующего линейного элемента [57].

Наряду с понятием коэффициента искажения в азимуте можно ввести понятие коэффициента искажения -щади а отображения (1.38), определяя его формулой

где и -элементарные площади поверхностей вычисляемые по формулам

Здесь -дискриминанты метрических тензоров соответственно. Внося (1.40) в (1.39), будем иметь

В том случае, когда имеет место увеличение, а при -уменьшение площади поверхности при ее отображении на .

Рассмотрим символы Кристоффеля двух поверхностей, находящихся в соответствии и отнесенных к общей системе криволинейных координат. Образуем с их помощью выражения абсолютных дифференциалов некоторого вектора первой поверхности и соответствующего ему вектора второй поверхности. Эти выражения имеют вид [57]

Так как каждое из них определяет вектор, то разность между ними является вектором

а при его свертывании с произвольным вектором получается инвариант

Из инвариантности этого выражения следует, что разности

являются компонентами тензора третьей валентности. Этот тензор назван Норденом [55—57] тензором аффинной деформации, соответствующей данному отображению. По свойству компонент очевидно, что