7.1.3. Параметризация области в виде четырехугольника, не имеющего параллельных сторон, бицентрическими координатами
Пусть область 
на координатной плоскости а ограничена произвольным четырехугольным контуром 
(рис. 7.4).
Контурные линии такой области совпадают с координатными,
если плоскость а отнести к бицентрическим координатам 
если положение произвольной точки 
определить углами 
между осью 
и лучами, исходящими из центров 
рис. 7.4).
Из рассмотрения треугольников 
установим зависимости между декартовыми координатами х, у и бицентрическими 
где 
-расстояние между центрами 
Из этих формул найдем зависимости
которые с помощью формулы
удобнее преобразовать к виду
Зависимости, обратные (7.14), следуют из (7.13)
и осуществляют отображение прямоугольной области на рассматриваемую четырехугольную область О, не имеющую параллельных сторон.
Якобиан отображения (7.15) оказывается равным
из анализа которого следует, что отображение (7.14) является вырожденным во всех точках координатной линии 
так как координатные линии 
соответствующие 
коллинеарны. Следовательно, при параметризации плоскости бицентрическими координатами все точки координатных линий 
являются особыми.
Используя соотношения (7.14), выразим радиус-вектор точки 
через параметры 
Дифференцируя данное выражение по найдем координатные векторы основного базиса линий 
Рис. 7.5
Внося выражения (7.16) в формулы 
имеем 
и при этом
Располагая формулами для 
можно получить выражения для 
которые здесь не приводятся.
Заметим, что в качестве независимых переменных вместо углов 
могут быть использованы их тангенсы, т. е. 
. В этом случае вместо (7.14) имеем отображение
Применению описанной здесь параметризации в теории оболочек посвящена работа [43].
Для областей 
более сложного вида осуществить подобную параметризацию не всегда удается. При некоторых ограничениях на форму области 
такую параметризацию можно построить методом фиктивной деформации, рассмотренным в разделе 5.2.
