2.3. Применение разностных методов для вычисления производных от таблично заданных линий

Введем понятие векторных разделенных разностей по аналогии с понятием разделенных разностей [7]. Рассмотрим некоторую вектор-функцию заданную в узлах интерполяции на сетке где -выбранные значения параметра. Для этой функции и узлов сетки образуем всевозможные отношения

где -заданные значения радиуса-вектора кривой а в узлах

Такие отношения назовем векторными разделенными разностями первого порядка. Получив разделенные разности первого порядка, образуем векторные разделенные разности второго порядка согласно выражениям

Если определены векторные разделенные разности порядка то векторные разделенные разности -го порядка находятся по формулам

Использование понятия векторных разделенных разностей позволяет записать интерполяционный вектор-многочлен Ньютона для неравных промежутков, который более удобен для вычислений, чем многочлен Лагранжа [7, 47]. При интерполировани кривой а следует принять

В случае выбора параметра с равным шагом узлов удобно рассмотреть векторные конечные разности, которые позволяют несложно вычислить векторные производные от таблично заданных

кривых. Центральные векторные разности приводят к следующим формулам для производных:

где шаг узлов сетки по параметру число заданных значений радиуса-вектора кривой а.

Для вычисления первых производных в начальной и конечной точках интервала можно применять нецентральные разностные формулы

Дифференцируя алгебраические многочлены Лаграижа (2.7) или Ньютона (2.13), можно получить различные разностные формулы для вычисления векторных производных от таблично заданной кривой а при неравномерном шаге узлов по параметру

Приближенные формулы, полученные на основе алгебраических многочленов, позволяют построить достаточно точные и устойчивые алгоритмы численного дифференцирования, если аппроксимируемые или интерполируемые кривые не сильно отличаются от алгебраических многочленов. На практике некоторые участки кривой могут иметь резкие изменения как самой кривой, так и ее производных. В этом случае разностные формулы (2.14), (2.15) могут приводить к значительным погрешностям.

Построим формулы численного дифференцирования, позволяющие вычислять производные для кривых в зонах их резкого изменения без введения дополнительных узлов [92].

Рассмотрим следующее аппроксимирующее векторное дифференциальное уравнение четвертого порядка исходя из понятия -сплайнов [10, 11, 31, 37, 52, 102, 103]:

где -некоторый назначаемый расчетчиком весовой множитель аналогичный осевой силе для стержня при продольно-поперечном изгибе; -интервалы аппроксимации для кривой а.

Отметим, что разностные формулы (2.14), (2.15) получаются на основе точного решения аппроксимирующего уравнения (2.16) при которое при этом является многочленом третьей степени с четырьмя произвольными векторами.

При из аппроксимирующего уравнения (2.16) получается следующая вектор-функция, которая может описывать резкое изменение кривой :

где -коэффициент, характеризующий изменяемость кривой а на интервале -постоянные векторы, подлежащие нахождению.

По аналогии с известными формулами введем дополнительное условие для (2.17):

где -величина, аналогичная поперечной силе для стержня, вычисленной в рассматриваемой точке при Условия интерполяции

и условие (2.18) позволяют записать систему векторных линейных алгебраических уравнений для нахождения величин . В результате решения этой системы получим следующее выражение для участка кривой а:

Варьируя в выражении (2.19) коэффициент можно аппроксимировать быстро изменяющиеся кривые, не описываемые алгебраическими многочленами. При постоянном шаге узлов сетки А по параметру на основе аппроксимирующего выражения (2.19) получаются следующие центральные формулы для вычисления производных:

Для вычисления производных в начальной и конечной точках интервала можно применять нецентральные формулы,

полученные путем дифференцирования аппроксимирующих функции (2.19):

Отметим, что при формулы (2.20), (2.21) преобразуются в известные формулы (2.14), (2.15) соответственно.

Метод векторных конечных разностей на основе формул (2.14), (2.15) применялся в работах [22—24, 81] для вычисления геометрических коэффициентов слоистых оболочек Тимошенко.