кривых. Центральные векторные разности приводят к следующим формулам для производных:
где
шаг узлов сетки
по параметру
число заданных значений
радиуса-вектора
кривой а.
Для вычисления первых производных в начальной и конечной точках интервала
можно применять нецентральные разностные формулы
Дифференцируя алгебраические многочлены Лаграижа (2.7) или Ньютона (2.13), можно получить различные разностные формулы для вычисления векторных производных от таблично заданной кривой а при неравномерном шаге узлов по параметру
Приближенные формулы, полученные на основе алгебраических многочленов, позволяют построить достаточно точные и устойчивые алгоритмы численного дифференцирования, если аппроксимируемые
или интерполируемые кривые не сильно отличаются от алгебраических многочленов. На практике некоторые участки кривой могут иметь резкие изменения как самой кривой, так и ее производных. В этом случае разностные формулы (2.14), (2.15) могут приводить
к значительным погрешностям.
Построим формулы численного дифференцирования, позволяющие вычислять производные для кривых в зонах их резкого изменения без введения дополнительных узлов [92].
Рассмотрим следующее аппроксимирующее векторное дифференциальное уравнение четвертого порядка исходя из понятия
-сплайнов [10, 11, 31, 37, 52, 102, 103]:
где
-некоторый назначаемый расчетчиком весовой множитель аналогичный осевой силе для стержня при продольно-поперечном
изгибе;
-интервалы аппроксимации для кривой а.
Отметим, что разностные формулы (2.14), (2.15) получаются на основе точного решения аппроксимирующего уравнения (2.16) при
которое при этом является многочленом третьей степени с четырьмя произвольными векторами.
При
из аппроксимирующего уравнения (2.16) получается следующая вектор-функция, которая может описывать резкое изменение кривой
:
где
-коэффициент, характеризующий изменяемость кривой а на интервале
-постоянные векторы, подлежащие нахождению.
По аналогии с известными формулами введем дополнительное условие для (2.17):
где
-величина, аналогичная поперечной силе для стержня, вычисленной в рассматриваемой точке при
Условия интерполяции
и условие (2.18) позволяют записать систему векторных линейных алгебраических уравнений для нахождения величин
. В результате решения этой системы получим следующее выражение для участка кривой а:
Варьируя в выражении (2.19) коэффициент
можно аппроксимировать быстро изменяющиеся кривые, не описываемые алгебраическими многочленами. При постоянном шаге узлов сетки А по параметру
на основе аппроксимирующего выражения (2.19) получаются следующие центральные формулы для вычисления производных:
Для вычисления производных в начальной и конечной точках интервала
можно применять нецентральные формулы,
полученные путем дифференцирования аппроксимирующих функции (2.19):
Отметим, что при
формулы (2.20), (2.21) преобразуются в известные формулы (2.14), (2.15) соответственно.
Метод векторных конечных разностей на основе формул (2.14), (2.15) применялся в работах [22—24, 81] для вычисления геометрических коэффициентов слоистых оболочек Тимошенко.