1.3. Соприкасающаяся плоскость, натуральный параметр и сопровождающий трехгранник кривой

В дифференциальной геометрии доказывается, что в каждой точке регулярной (по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемой) кривой первая производная от по параметру есть вектор, направленный по касательной к кривой в сторону возрастания параметра При этом вектор второй производной от радиуса-вектора по параметру находится в некоторой вполне определенной касательной плоскости к кривой, содержащей которая называется ее соприкасающейся плоскостью. Величина интеграла

где не зависит от выбора и этот интеграл определяет так называемый натуральный, или естественный, параметр кривой. Разность двух значений параметра

равна длине дуги, заключенной между точками со значениями параметра

Дифференцируя (1.5) по получим

или

Введя обозначение из (1.8) находим

откуда следует, что производная от радиуса-вектора точки кривой по натуральному параметру есть единичный касательный вектор кривой.

Вектор второй производной по натуральному параметру удовлетворяет условию

которое показывает, что перпендикулярен вектору Всякая прямая, пересекающая касательную к кривой ортогонально в точке ее прикосновения, называется нормалью кривой, а нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, ее главной нормалью. Так как вектор второй производной по любому параметру расположен в соприкасающейся плоскости, то вектор направлен по главной нормали.

Нормаль, перпендикулярная к главной нормали, называется бинормалью, а плоскость, содержащая главную нормаль и бинормаль, а следовательно, и все нормали кривой, называется нормальной. Наконец, плоскость, содержащая бинормаль и касательную, называется спрямляющей.

Прямоугольный трехгранник, образованный касательной, главной нормалью и бинормалью, называется сопровождающим или естественным трехгранником кривой. Единичные векторы направленные по осям этого трехгранника, называются главными векторами кривой.