3.7. Применение интегрального тождества и метода граничных элементов для задания и аппроксимации регулярной поверхности

Более общие методы получаются при рассмотрении обобщенного решения задачи (3.25), которое следует из интегрального тождества

где -произвольная вектор-функция.

Выполняя преобразования в тождестве (3.37), получим

где

-реакция сплайна в узле сетки —число внутренних узлов сетки, в которых заданы значения поверхности —тензор второй валентности весовых коэффициентов, задаваемых при расчете, не обязательно симметричный.

На основе интегрального тождества (3.38) удобно применять МКЭ. Для этого необходимо аппроксимировать произвольную вектор-функцию и искомый сплайн полиномами вида . В силу произвольности вектор-функции из получившейся билинейной формы следует система векторных линейных алгебраических уравнений вида (3.34) для нахождения узловых значений сплайна. Следует отметить, что если оператор в (3.37) не является симметричным, то матрица получившейся системы будет также несимметричной. Если же оператор в (3.37) симметричен, т. е. тензор симметричный, то разрешающая система векторных линейных алгебраических уравнений для нахождения узловых значений сплайн-поверхности и ее производных полностью совпадает с соответствующей системой, полученной на основе функционала (3.26). Этот результат доказан в общем виде и приведен в руководствах по вычислительной математике [10, 11, 52, 102].

Применяя дважды формулу Гаусса-Остроградского к левой части интегрального тождества (3.38), получим

где

—симметричный тензор весовых коэффициентов.

Рассмотрим фундаментальное решение уравнения (3.25), которое определяется согласно выражению

где —функция Дирака.

Подставляя в интегральное тождество (3.39) значение где k — произвольный постоянный вектор, с учетом выражения (3.40) полним интегральное уравнение

где -для гладкой линии .

При необходимости рассмотрения угловых точек области в уравнении (3.41) изменяется лишь значение коэффициента, для каждой угловой точки. Техника определения коэффициента изложена, например, в работах [6, 9, 105].

Уравнение (3.41) представляет собой интегральное уравнение прямого метода граничных элементов (МГЭ) для интерполирования или аппроксимации регулярной поверхности Для многосвязных областей в уравнение (3.41) войдут дополнительные члены с контурными интегралами, полностью аналогичными контурному интегралу, имеющемуся в уравнении (

Численное решение уравнения (3.39; по МГЭ строится согласно известной методике [6, 9]. Получающаяся в результате система линейных алгебраических уравнений для определения значений в расчетных узлах контура представляет собой систему метода конечных сумм. Если значения в точках контура неизвестны, то дополнительные уравнения для их вычисления удобно сформулировать из условий минимума квадратичного функционала реакций, аналогично (3.36):

где -реакции сплайна, вычисляемые согласно уравнению (3.41); —назначаемый коэффициент (см. (3.36)), определяется согласно обозначениям для (3.38).

Для построения сглаживающего сплайна так же, как и при применении МКЭ, необходимо записать условия аппроксимации в виде условий минимума среднеквадратичного уклонения сплайна от заданных значений поверхности Эти условия в случае дискретного задания значений аппроксимируемой поверхности могут быть записаны для функционала

где -число заданных значений радиуса-вектора поверхности или при непрерывном задании для следующего функционала:

где -аппроксимируемые значения радиуса-вектора поверхности

Таким образом, МГЭ позволяет решать как задачи интерполирования, так и задачи аппроксимации для поверхностей сложной формы. При этом алгоритм строится на основе соотношений (3.41) — (3.44).

Возможность применения МГЭ определяется наличием фундаментального решения (3.40). Фундаментальные решения для уравнения (3.25) получены для частных случаев изменения весового тензора Однако МГЭ в варианте подструктур (суперэлементов) позволяет значительно расширить класс решаемых задач.

При рассмотрении функции Грина для уравнения (3.25) в некоторой простой области с произвольными краевыми условиями на К интегральное тождество (3.39) также позволяет получить граничное интегральное уравнение (3.41). Здесь -область, полученная из области дополнением до простейшей односвязной, для которой функция Грина получена и несложно вычисляется, — граница на которой заданы некоторые краевые условия для уравнения (3.40) [75, 76]. Отметим, что краевые условия на К могут быть произвольными, лишь бы при них просто вычислялась функция Грина и обеспечивалась достаточная устойчивость вычислений.