3.7. Применение интегрального тождества и метода граничных элементов для задания и аппроксимации регулярной поверхности
Более общие методы получаются при рассмотрении обобщенного решения задачи (3.25), которое следует из интегрального тождества
где
-произвольная вектор-функция.
Выполняя преобразования в тождестве (3.37), получим
где
-реакция сплайна в
узле сетки
—число внутренних узлов сетки, в которых заданы значения
поверхности
—тензор второй валентности весовых коэффициентов, задаваемых при расчете, не обязательно симметричный.
На основе интегрального тождества (3.38) удобно применять МКЭ. Для этого необходимо аппроксимировать произвольную вектор-функцию
и искомый сплайн
полиномами вида
. В силу произвольности вектор-функции
из получившейся билинейной формы следует система векторных линейных алгебраических уравнений вида (3.34) для нахождения узловых значений сплайна. Следует отметить, что если оператор
в (3.37) не является симметричным, то матрица получившейся системы будет также несимметричной. Если же оператор
в (3.37) симметричен, т. е. тензор
симметричный, то разрешающая система векторных линейных алгебраических уравнений для нахождения узловых значений сплайн-поверхности и ее производных полностью совпадает с соответствующей системой, полученной на основе функционала (3.26). Этот результат доказан в общем виде и приведен в руководствах по вычислительной математике [10, 11, 52, 102].
Применяя дважды формулу Гаусса-Остроградского к левой части интегрального тождества (3.38), получим
где
—симметричный тензор весовых коэффициентов.
Рассмотрим фундаментальное решение
уравнения (3.25), которое определяется согласно выражению
где
—функция Дирака.
Подставляя в интегральное тождество (3.39) значение
где k — произвольный постоянный вектор, с учетом выражения (3.40) полним интегральное уравнение
где
-для гладкой линии
.
При необходимости рассмотрения угловых точек области
в уравнении (3.41) изменяется лишь значение коэффициента,
для каждой угловой точки. Техника определения коэффициента
изложена, например, в работах [6, 9, 105].
Уравнение (3.41) представляет собой интегральное уравнение прямого метода граничных элементов (МГЭ) для интерполирования или аппроксимации регулярной поверхности
Для многосвязных областей
в уравнение (3.41) войдут дополнительные члены с контурными интегралами, полностью аналогичными контурному интегралу, имеющемуся в уравнении (
Численное решение уравнения (3.39; по МГЭ строится согласно известной методике [6, 9]. Получающаяся в результате система линейных алгебраических уравнений для определения значений
в расчетных узлах контура
представляет собой систему метода конечных сумм. Если значения
в точках контура
неизвестны, то дополнительные уравнения для их вычисления удобно сформулировать из условий минимума квадратичного функционала реакций, аналогично (3.36):
где
-реакции сплайна, вычисляемые согласно уравнению (3.41);
—назначаемый коэффициент (см. (3.36)),
определяется согласно обозначениям для (3.38).
Для построения сглаживающего сплайна так же, как и при применении МКЭ, необходимо записать условия аппроксимации в виде условий минимума среднеквадратичного уклонения сплайна от заданных значений поверхности
Эти условия в случае дискретного задания значений аппроксимируемой поверхности
могут быть записаны для функционала