5.3. Об условиях неразрывности фиктивных деформаций поверхности отсчета

Наряду с тензором фиктивных тангенциальных деформаций введем в рассмотрение тензор фиктивных изгибных деформаций поверхности ковариаитные компоненты которого равны

где определены равенствами (5.13). В соответствии с основной теоремой теории поверхностей коэффициенты определяют поверхность а только тогда, когда они удовлетворяют трем дифференциальным соотношениям Гаусса-Кодацци. При этом компоненты тензоров должны удовлетворять условиям неразрывности фиктивных деформаций поверхности. Выведем эти условия с помощью тензоров с векторными компонентами, а также тензора аффинной фиктивной деформации

Продифференцируем ковариантно первое из равенств (5.20)

Подставляя в правую часть этого равенства выражения для из (5.21), будем иметь

откуда, умножая на приходим к двум скалярным равенствам

из которых можно получить условия неразрывности фиктивных деформаций поверхности

Подставляя из (5.30) производные в тождества

и свертывая полученный результат с тензором с учетом равенств

имеющих место в силу условия интегрируемости будем иметь

Здесь последнее слагаемое можно преобразовать при помощи тождества Риччи

где -смешанные компоненты тензора Римана-Кристоффеля поверхности которые выражаются через коэффициенты второй квадратичной формы по формуле Гаусса

На основании (5.33) и (5.34) имеем

Подставляя в первое из этих равенств правую часть (5.31), получим два условия Кодацци для поверхности а

Внося правую часть равенства (5.35) в (5.32), получим еще одну зависимость между коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхности

Здесь учтено, что

в чем легко убедиться непосредственной проверкой.

Последнее слагаемое в (5.37) можно преобразовать при помощи формулы Бианки

где

— гауссова кривизна поверхности . В силу формулы (5.38) имеем

Внося (5.39) в (5.37), с учетом зависимостей найдем одно из условий неразрывности фиктивных деформаций поверхности

где приняты во внимание формулы

в которых —средняя кривизна поверхности Остальные два условия неразрывности фиктивных деформаций следуют из соотношений (5.36) в виде

если воспользоваться условиями Кодацци для поверхности

а также равенствами

Если свернуть обе части (5.41) с тензором то можно записать эти соотношения в другом виде:

Выведенные условия (5.40) и (5.41) или (5.42) содержат три компоненты тензора тангенциальной фиктивной деформации и три компоненты тензора изгибной фиктивной деформации

Как известно из механики сплошной среды, условия неразрывности деформаций среды удовлетворяются тождественно, если входящие в них компоненты деформаций выразить через компоненты перемещений. Точно так же условия (5.40) и (5.41) будут тождественно удовлетворены, если входящие в них величины выразить через функции с помощью соотношений (5.6), (5.8), (5.10), (5.12), (5.15). Доказательство этого утверждения в общем случае связано с громоздкими выкладками.