2.4. Интерполяция линий кубическими векторно-параметрическими сплайнами

При аппроксимации или интерполяции таблично заданных функций многочленами высоких степеней возникают значительные осцилляции в промежутках менаду узлами многочленов. Наиболее низкая точность приближения функций многочленами наблюдается вблизи концов интервала интерполирования. В последнее время для решения задач аппроксимации все. чаще применяются сплайн-функции или сплайны [1, 4, 5, 10—12, 31, 37], которые менее подвержены осцилляциям и обеспечивают более хорошее качество аппроксимации приближенно заданных функций по сравнению со степенными многочленами.

Рассмотрим построение наиболее часто применяемых кубических сплайнов для интерполирования таблично заданных кривых. Пусть в некоторых узлах кривой заданы значения радиуса-вектора некоторой кривой а. По этим заданным значениям будем строить векторно-параметрический сплайн класса на выбранной сетке узлов для параметра сплайна

Кубический векторно-параметрический сплайн на каждом участке представляет собой следующий многочлен:

где искомые коэффициенты сплайна; узлов сплайна на выбранной сетке .

Запишем выражения для производных от многочлена (2.22):

Для построения сплайна на основании выражений (2.22), (2.24) запишем условия сопряжения многочленов (2.22) по вторым производным

В результате система векторных линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов сплайна запишется в виде

Уравнений (2.27) недостаточно для нахождения коэффициентов сплайна Недостающие два уравнения получим также из выражения (2.24), положив

где -некоторые заданные векторы. Соотношения (2.28) называются краевыми условиями сплайна.

Из условий (2.28) получаем два уравнения

которые вместе с уравнениями (2.27) образуют замкнутую систему векторных линейных алгебраических уравнений, имеющую единственное решение [1, 38].

Векторы в большинстве случаев или неизвестны, или могут быть вычислены с низкой точностью. Это обстоятельство является серьезным препятствием при практическом применении сплайнов для решения различных задач приближения функций и при построении численных алгоритмов.

Рассмотрим первый способ вычисления краевых значений основанный на минимизации функционала реакций сплайна [59, 99].

Примем векторы в качестве неизвестных коэффициентов сплайна. Рассмотрим следующий квадратичный функционал реакций:

где -реакции сплайна, аналогичные механическим реакциям для изгибаемого стержня, вычисляемые согласно выражениям (2.25).

Сплайн при этом удобно записатьчерез фундаментальные сплайны

где -сплайн, построенный при

-сплайн, построенный при

-сплайн, построенный при

—единичный вектор,

Дополнительные уравнения получим из условий минимума функционала (2.30), которые имеют вид

В результате решения системы уравнений (2.27), (2.29), (2.32) находим все коэффициенты, определяющие кубический векторно-параметрический сплайн (2.22).

Рассмотрим второй способ вычисления производных для условий (2.28), основанный на применении для крайних участков сплайна кубических многочленов Эрмита. Согласно методике, изложенной в работе [87], рассмотрим произвольный сдвоенный участок сплайна, и запишем для него векторно-параметрический многочлен следующего вида:

где при рассмотрении крайних участков сплайна.

Запишем выражения для производных от многочлена (2.33)

Запишем условия сопряжения многочленов (2.22), (2.33) по вторым производным в узлах на основании выражений (2.26), (2.24), (2.35). В результате получим следующие

уравнения для нахождения коэффициентов сплайна:

При получении системы (2.36) для узлов сетки А использованы условия сопряжения (2.26) исходя из выражений (2.22), (2.24) для сплайна на всех его внутренних участках.

После нахождения коэффициентов сплайна первые и вторые производные от сплайна на участках могут быть вычислены на основании выражений (2.34), (2.35). Нетрудно увидеть, что второй способ вычисления краевых условий не приводит к увеличению порядка разрешающей системы для нахождения коэффициентов сплайна.

Рассмотрим интерполяцию замкнутых кривых векторно-параметрическими кубическими сплайнами. Для замкнутой кривой а из условий периодичности имеют место следующие краевые условия

где -дополнительный узел сплайна, совпадающий с узлом

Составляя систему, аналогичную системе векторных линейных алгебраических уравнений (2.27), и учитывая условия (2.37), получим

Система (2.38) наиболее эффективно решается методом циклической прогонки или фронтальным методом. Вторые производные, необходимые для дальнейших вычислений, определяются согласно выражениям (2.24) или (2.35).

В заключение следует отметить, что векторно-параметрические кубические сплайны, интерполирующие некоторую кривую а, могут быть построены с использованием коэффициентов Этот второй вариант сплайна здесь не рассмотрен по двум обстоятельствам.

Во-первых, при разработке численных методов решения задач механики оболочек для вычисления компонент тензора первой квадратичной формы срединной поверхности оболочки в первую очередь необходимы значения коэффициентов (см. главу 1). Во-вторых, как отмечено в руководствах по численным методам [1, 37, 102], второй вариант сплайна при практической реализации более чувствителен к точности задания краевых условий, чем рассмотренный выше.

Поэтому применение второго варианта сплайна оправдано в том случае, когда для дальнейших расчетов или вычислений необходимы только вторые производные от радиуса-вектора кривой а.